Raíz de una función

Si busca la raíz enésima de un número, vea Función raíz.

En matemática, se conoce como raíz (o cero) de una función (definida sobre un cierto cuerpo algebraico) f (x) a todo elemento x perteneciente al dominio de dicha función tal que se cumpla:

$f(x)=0\,$.

Ejemplo

Por ejemplo, dada la función:

$f(x)=x^{2}-6x+8\,$

Planteando y resolviendo la ecuación:

$0=x^{2}-6x+8\,$

Podemos afirmar que 2 y 4 son raíces (ver ecuación de segundo grado) ya que f(2) = 0 y f(4) = 0.

Buscando raíces

• Dado el caso de que tanto el dominio como la imagen de la función sean los números reales (denominadas funciones reales) entonces los puntos en los que el gráfico corta al eje de las abscisas es una interpretación gráfica de las raíces de dicha función.
• El teorema fundamental del álgebra determina que todo polinomio en una variable compleja y de grado n tiene n raíces (contando sus multiplicidades). Aun así, Las raíces de los polinomios reales no son necesariamente reales; algunas de ellas, o incluso todas, pueden ser complejas.
• Una función trascendente como por ejemplo $\sin(x)\,$ posee una infinidad de raíces, concretamente cualquier $x_{n}=n\pi ,\ n\in \mathbb {Z}$ es raíz de esa función. En cambio la función $e^{z}$ no se anula nunca sobre los números complejos.
• El número de raíces de una función holomorfa o una función analítica es un conjunto numerable sin puntos de acumulación.
• Uno de los problemas no resueltos más interesantes de la matemática moderna es encontrar las raíces de la función zeta de Riemann.

Raíces simples y múltiples

Dada una función f que tiene una raíz r entonces se puede escribir dicha función como:

$f(x)=(x-r)f_{1}(x)\,$

Entonces se dice que:

• La raíz es simple si $f_{1}(r)\neq 0\,$
• La raíz es multiple si $f_{1}(r)=0\,$, en este último caso la raíz se dice de orden n, siendo $n>1$, cuando se puede escribir:

$f(x)=(x-r)^{n}f_{n}(x),\quad {\mbox{con}}\ f_{n}(r)\neq 0\,$

Métodos para buscar raíces

• Método de Newton-Raphson
• Método de la secante
• Método de bisección del intervalo
• Regula falsi