Método de la regla falsa

En cálculo numérico, el método de regula falsi (regla falsa) o falsa posición es un método iterativo de resolución numérica de ecuaciones no lineales. El método combina el método de bisección y el método de la secante.

El método

Como en el método de bisección, el método parte de un intervalo inicial [a₀,b₀] que contiene al menos una solución de la ecuación f(x) = 0, a la cual se llama raíz de f. Es decir, parte de un intervalo con f(a₀) y f(b₀) de signos contrarios (véase el teorema de Bolzano). El algoritmo va obteniendo sucesivamente en cada paso un intervalo [a_k, b_k] más pequeño que incluye una raíz de la función f.

Para determinar a partir de un intervalo [a_k, b_k] el siguiente intervalo [a_k+1, b_k+1], lo que se hace es obtener el punto del interior del intervalo dado por la fórmula:

$c_{k}={\frac {f(b_{k})a_{k}-f(a_{k})b_{k}}{f(b_{k})-f(a_{k})}}$(a=k)

El punto se obtiene al hallar la intersección de la recta que pasa por los puntos (a,f(ak)) y (b,f(bk)) con el eje de abscisas (igual a como se hace en el método de la secante).

Una vez hallado este punto, se toma como siguiente intervalo al intervalo que tiene de extremo al punto obtenido c_k y uno de los extremos del anterior intervalo de forma que en el nuevo intervalo siga estando una de las raíces de la función f (Es decir, con el valor de la función en los extremos del nuevo intervalo de signo contrario).

Análisis del método

Se puede demostrar que bajo ciertas condiciones el método de la falsa posición tiene orden de convergencia lineal, por lo que suele converger más lentamente a la solución de la ecuación que el método de la secante, aunque a diferencia de en el método de la secante el método de la falsa posición siempre converge a una solución de la ecuación.

El algoritmo tiene el inconveniente de que si la función es convexa o cóncava cerca de la solución, el extremo del intervalo más alejado de la solución queda fijo varíando únicamente el más cercano, convergiendo muy lentamente. Para solucionarlo, se suele utilizar una variante del algoritmo, conocida como método de regula falsi modificado, consistente en el caso de que el intervalo quede fijo por un extremo en ir dividiendo por dos el valor de la función en dicho extremo hasta que el nuevo intervalo no contenga al extremo que se había quedado fijado.

Enlaces externos

• Método de Regula Falsi