Diferencia entre revisiones de «Foliación»

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Revisión del 12:28 17 feb 2010

En matemáticas, una foliación es una partición en subvariedades diferenciables de otra variedad diferenciable (de tal modo que cada todas las subvariedades que conforman la foliación son de la misma dimensión m, siendo m menor menor que la dimensión de la variedad original).

Intuitivamente una foliación es como un conjunto de cortes o lonchas finas de la dimensión original en piezas de la misma dimensión. Por ejemplo se puede foliar espacio euclídeo tridimensional considerando que se trata de un apilamiento de infinitos planos euclídeos uno encima de otro. Cuando una variedad admite una foliación entonces localmente tiene una estructura topológica de variedad producto.

Definición

Más formalmente, una foliación F de dimensión p o foliación p-dimensional de una variedad M es un recubrimiento topológico, formado por conjuntos U_i y equipado además con aplicaciones:

\phi _{i}:U_{i}\to \mathbb {R} ^{n}

tal que en los solapes $U_{i}\cap U_{j}$ las funciones $\varphi _{ij}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ definidas mediante:

\varphi _{ij}=\phi _{j}\phi _{i}^{-1}

tienen la forma:

\varphi _{ij}(x,y)=(\varphi _{ij}^{1}(x),\varphi _{ij}^{2}(x,y))

Donde $x$ denota las primeras $n-p$ coordenadas, y $y$ denota las últimas p coordenadas. Es decir,

\varphi _{ij}^{1}:\mathbb {R} ^{n-p}\to \mathbb {R} ^{n-p}

y

\varphi _{ij}^{2}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}

.

Ejemplos

Espacio euclídeo

Cubiertas

Si $M\to N$ es una aplicación continua y exahustiva entre variedades y $F\,$ es una foliación sobre $N\,$ , entonces la aplicación anterior induce una foliación sobre $M\,$ (pull-back de la aplicación anterior).

Foliaciones e integrabilidad de campos n-formas

Véase también

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 Intuitivamente una foliación es como un conjunto de cortes o lonchas finas de la dimensión original en piezas de la misma dimensión. Por ejemplo se puede foliar espacio euclídeo tridimensional considerando que se trata de un apilamiento de infinitos planos euclídeos uno encima de otro. Cuando una variedad admite una foliación entonces localmente tiene una estructura topológica de variedad producto.
+== Definición ==
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+Más formalmente, una foliación ''F'' de [[dimensión]] ''p'' o foliación ''p''-dimensional de una variedad ''M'' es un [[Glosario de topología#R|recubrimiento topológico]], formado por conjuntos ''U<sub>i</sub>'' y equipado además con aplicaciones:</br>
+</br>
+:<math>\phi_i:U_i \to \R^n</math>
+</br>
+tal que en los solapes <math>U_i \cap U_j</math> las funciones <math>\varphi_{ij}:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n</math> definidas mediante:</br>
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+:<math>\varphi_{ij} =\phi_j \phi_i^{-1}</math>
+</br>
+tienen la forma:
+:<math>\varphi_{ij}(x,y) = (\varphi_{ij}^1(x),\varphi_{ij}^2(x,y))</math>
+</br>
+Donde <math>x</math> denota las primeras <math>n-p</math> coordenadas, y <math>y</math> denota las últimas ''p'' coordenadas. Es decir,</br>
+</br>
+:<math>\varphi_{ij}^1:\mathbb{R}^{n-p}\to\mathbb{R}^{n-p}</math>
+y
+:<math>\varphi_{ij}^2:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^{p}</math>.
+<!--
+In the chart <math>U_i</math>, the '''stripes''' <math>x=</math>[[mathematical constant|constant]] match up with the stripes on other charts <math>U_j</math>. Technically, these stripes are called '''plaques''' of the foliation. In each chart, the plaques are <math>n-p</math> dimensional [[submanifold]]s. These submanifolds piece together from chart to chart to form maximal [[connected space|connected]] injectively [[immersed submanifold]]s called the <b>leaves</b> of the foliation.
+-->
 == Ejemplos ==