Ecuación diferencial exacta

En matemáticas, una ecuación diferencial exacta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que presenta la forma:

$M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0,\,\!$

en donde las derivadas parciales de las funciones M y N: ${\frac {\partial M}{\partial y}}\,\!$ y ${\frac {\partial N}{\partial x}}\,\!$ son iguales. Esto es equivalente a decir que existe una función F(x,y)=0 tal que

$dF(x,y)={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy\,\!$

donde ${\frac {\partial F}{\partial x}}=M(x,y)\,\!$ y ${\frac {\partial F}{\partial y}}=N(x,y)\,\!$. Dado que F(x,y) es una función diferenciable entonces las derivadas cruzadas deben ser iguales y esta es la condición ${\frac {\partial M}{\partial y}}={\frac {\partial N}{\partial x}}={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}\,\!$.

Método de resolución.

Para resolver una ecuación diferencial de este tipo, se ha de seguir los siguientes pasos:

• Comprobar la exactitud de la ecuación, esto es, verificar si las derivadas parciales de M (con respecto a y) y de N (con respecto a x) son iguales.

• Se integra M o N a conveniencia (M respecto a x o N respecto a y) obteniéndose de este modo la solución general de la ecuación aunque con una función incógnita g que aparece como constante de integración. Esto es:

$f(x,y)=\int M\,dx+g(y)=\int N\,dy+g(x)\,\!$

• Para despejar la función g se deriva $f(x,y)\,\!$ con respecto a la variable independiente de g.

• Se iguala g' con M o N (si se integró M se iguala a N y viceversa.), despejando y luego integrando con respecto a la variable dependiente de g; de este modo se encontrará la función g.

• Finalmente se reemplaza el g encontrado en la solución general $f(x,y)\,\!$.

Factor integrante.

Si una ecuación diferencial no es exacta, pudiera llegar a serlo si se la multiplica por una función especial $\mu (x,y)\,\!$ llamada factor integrante, tal que:

$\mu M(x,y)\,dx+\mu N(x,y)\,dy=0\,\!$

Sea exacta.

Cabe destacar que bajo ciertas condiciones el factor integrante siempre existe, pero sólo para algunas formas de ecuaciones diferenciales es posible facilmente encontrar un factor integrante:

Factor integrante solo en función de x.

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x (es decir, $\mu (x)\,\!$), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:

$\mu (x)=e^{\int {\frac {M_{y}-N_{x}}{N}}\,dx}\,\!$

Factor integrante solo en función de y.

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a y (es decir, $\mu (y)\,\!$), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:

$\mu (y)=e^{\int {\frac {N_{x}-M_{y}}{M}}\,dy}\,\!$

Factor integrante solo en función de x+y.

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x+y (es decir, $\mu (x+y)\,\!$), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:

$\mu (x+y)=e^{\int {\frac {N_{x}-M_{y}}{M-N}}\,dz}\,\!$ Con $z=x+y$

Factor integrante solo en función de x·y.

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x·y (es decir, $\mu ({x}{y})\,\!$), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:

$\mu (xy)=e^{\int {\frac {N_{x}-M_{y}}{N*y-M*x}}\,dz}\,\!$ Con $z=x+y$

Donde $M*x=$ M·x

Cabe mencionar que:

$M_{y}={\frac {\partial M}{\partial y}},N_{x}={\frac {\partial N}{\partial x}}\,\!$

Bibliografía

• Tom M. Apostol (1979): Análisis matemático. ISBN 84-291-5004-8.
• Zill, Dennis G. (2006): Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado. Octava edición. Thomson Learning Iberoamericana. México D.F., México. ISBN 970-686-487-3.
• Olivos, Elena; Mansilla, Angélica (2005): Ecuaciones Diferenciales, 100 Problemas Resueltos. Primera Edición. Editorial Universidad de La Frontera. Temuco, Chile.

Véase también.

• Ecuación diferencial
• Ecuación diferencial de primer orden