Teorema del valor intermedio

En análisis real el teorema del valor intermedio es una propiedad de las funciones continuas reales en un intervalo. El teorema establece que si una función es continua en un intervalo, la función toma todos los valores intermedios comprendidos entre los valores de la función en los extremos del intervalo.

Como consecuencia del teorema de Weierstrass se puede generalizar diciendo que la imagen de un intervalo es otro intervalo, siendo los subconjuntos conexos de los números reales.

Enunciado

Sea $f$ una función continua en un intervalo $[a,b]$ y supongamos que $f(a)<f(b)$. Entonces para cada $z$ tal que $f(a)<z<f(b)$, existe un $x$ dentro de $(a,b)$ tal que $f(x)=z$ . La misma conclusión se obtiene para el caso que $f(b)<f(a)$.

Demostración

El teorema puede demostrarse fácilmente aplicando el teorema de Bolzano (que se trata de un caso particular del teorema del valor intermedio) a la función también continua g(x) definida como g(x):=f(x)-z.

Referencias

• Bombal, Marin & Vera: Problemas de Análisis matemático: Cálculo Diferencial, 1988, ed. AC, ISBN 84-7288-101-6.