Triángulo aritmético de Fibonacci

Es una ordenación triangular de números enteros impares que utilizó Fibonacci para demostrar la identidad $\,1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=(1+2+3+...+n)^{2}$

El triángulo

1
5	3
11	9	7
19	17	15	13
29	27	25	23	21
41	39	37	35	33	31
55	53	51	49	47	45	43
71	69	67	65	63	61	59	57
89	87	85	83	81	79	77	75	73
109	107	105	103	101	99	97	95	93	91
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...

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La demostración

Fibonacci observó que cada k-ésima fila es una progresión aritmética cuyo valor medio es k². Por consiguiente, la suma de los k términos de la k-ésima fila es k . k² = k³. La suma "S" de las primeras n filas consecutivas es $\,S=1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}$. Además Fibonacci conocía un resultado que la leyenda atribuye a Pitágoras: la suma de los primeros m enteros impares es igual a m². De esta forma $\,S=(1+2+3+...+n)^{2}$ porque en las primeras k filas hay 1 + 2 + 3 + ... + k números enteros impares.​

Propiedades elementales del triángulo de Fibonacci

• La k-ésima fila tiene k elementos.
• La suma de los elementos de la k-ésima fila es igual a k³.
• El menor número entero impar que forma parte de la k-ésima fila es igual a k² - (k - 1).
• El mayor número entero impar que está en la k-ésima fila es igual a k² + (k - 1).

Identidades deducidas del triángulo

Conocemos la identidad $\,1+2+3+...+n={\frac {n^{2}+n}{2}}$, que se demuestra por inducción matemática en los cursos elementales de álgebra. También sabemos que $\,1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=\left({\frac {n^{2}+n}{2}}\right)^{2}$.

La suma de cubos de números enteros hasta un valor arbitrario n-1 es $\,1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+(n-1)^{3}=\left({\frac {\left(\,n-1\right)^{2}+\left(\,n-1\right)}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {n^{2}-2\cdot n+1+n-1}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {n^{2}-n}{2}}\right)^{2}$.

Evidentemente $\,n^{3}=\left(\,1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}\right)-\left(\,1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+(n-1)^{3}\right)=\left({\frac {n^{2}+n}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {n^{2}-n}{2}}\right)^{2}=$ $=\left({\frac {n^{2}+n}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {(n-1)^{2}+(n-1)}{2}}\right)^{2}$.

La primera identidad deducida nos dice, entonces, que todo cubo es una diferencia de cuadrados, los cuadrados de dos números triangulares consecutivos cuyos órdenes son la raíz cúbica del cubo y ésta menos la unidad.

La segunda identidad es una generalización de verificación inmediata: $n^{2j-1}=\left({\frac {n^{j}+n^{j-1}}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {n^{j}-n^{j-1}}{2}}\right)^{2}$. Cualquier potencia de exponente impar puede escribirse como una diferencia de cuadrados.

Aunque originalmente estas consideraciones fueron efectuadas para números enteros, las identidades deducidas valen en el campo real.