Diferencia entre revisiones de «Máximo común divisor»

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Revisión del 23:47 4 abr 2010

En matemáticas el máximo común divisor (abreviado mcd o m.c.d.) de dos o más números enteros es el mayor número que los divide sin dejar resto. Por ejemplo, el mcd de 42 y 56 es 14. En efecto, $\scriptstyle {42 \over 14}=3$ , $\scriptstyle {56 \over 14}=4$ y 3 y 4 son primos entre sí (no existe ningún natural aparte de 1 que divida a la vez al 3 y al 4).

Cálculo del mcd

Los dos métodos más utilizados para el cálculo del máximo común divisor de dos números son:

Descomposición en factores primos

El máximo común divisor de dos números puede calcularse determinando la descomposición en factores primos de los dos números y tomando los factores comunes con su menor exponente, el producto de los cuales será el mcd. Por ejemplo, para calcular el máximo común divisor de 48 y de 60 obtenemos la factorización en factores primos

De las factorizaciones de 48 y 60:

{\begin{array}{r|l}48&2\\24&2\\12&2\\6&2\\3&3\\1&\end{array}}

48=2^{4}\cdot 3\,

{\begin{array}{r|l}60&2\\30&2\\15&3\\5&5\\1&\end{array}}

60=2^{2}\cdot 3\cdot 5\,

El mcd son los factores comunes con su menor exponente, esto es:

mcd(48,60)=2^{2}\cdot 3=12

En la práctica, este método solo es operativo para números pequeños tomando en general demasiado tiempo calcular la descomposición en factores primos de dos números cualesquiera.

Algoritmo de Euclides

Un método más eficiente es el algoritmo de Euclides, que utiliza el algoritmo de la división junto al hecho que el mcd de dos números también divide al resto de dividir el mayor por el más pequeño: se divide 60 por 48 dando un cociente de 1 y un resto de 12. El mcd será por tanto divisor de 12. Después se divide 48 por 12 dando un resto de 0, lo que significa que 12 es el mcd. Formalmente puede describirse como:

\operatorname {mcd} (a,0)=a

\operatorname {mcd} (a,b)=\operatorname {mcd} (b,a-b\left\lfloor {a \over b}\right\rfloor ).

Mcd de tres o más números

El máximo común divisor de tres números se puede calcular como sigue: mcd(a,b,c) = mcd(a, mcd(b,c)).

Aplicaciones

El m.c.d. se utiliza para simplificar fracciones. Por ejemplo, para simplificar la fracción ${\frac {48}{60}}$ se calcula primero el mcd(60, 48) = 12, dividiéndose el numerador y el denominador de la fracción inicial por 12 para obtener la fracción simplificada ${\frac {4}{5}}$ .

El m.c.d. también se utiliza para calcular el mínimo común múltiplo de dos números. En efecto, el producto de los dos números es igual al producto de su máximo común divisor por su mínimo común múltiplo. Asi, para calcular el mínimo común múltiplo de 48 y de 60, calculamos primero su mcd, 12, siendo su mínimo común múltiplo ${\frac {48*60}{12}}$ = 240.

Propiedades

1. Si $\ mcd(a,b)=d$ entonces $\ mcd\left({\frac {a}{d}},{\frac {b}{d}}\right)=1$

2. Si $\ m$ es un entero, $\ mcd(ma,mb)=|m|\cdot mcd(a,b)$

3. Si $\ p$ es un número primo, entonces $\ mcd(p,m)=p$ o bien $\ mcd(m,p)=1$

4. Si $\ d=mcd(m,n),\ m=dm',\ n=dn'$ , entonces $\ mcd(m',n')=1$

5. Si $d=mcd(m,n),\ m=d'm'',\ n=d'n'',\ mcd(m'',n'')=1$ , entonces $\ d=d'$

6. Si $\ d'$ es un divisor común de $\ m$ y $\ n$ , entonces $d'\mid mcd(m,n)$

7. Si $\ m=nq+r$ , entonces $\ mcd(m,n)=mcd(n,r)$

8. Si $\ m=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}$ y $\ n=p_{1}^{\beta _{1}}\cdots p_{k}^{\beta _{k}},\$ $\alpha _{i},\beta _{i}\geq 0,i=1,...,k$ , entonces:

mcd(m,n)=p_{1}^{min(\alpha _{1},\beta _{1})}\cdots p_{k}^{min(\alpha _{k},\beta _{k})}

La última propiedad dice que el máximo común divisor de dos números resulta ser el producto de sus factores primos comunes elevados al menor exponente....

Geométricamente, el máximo común divisor de a y b es el número de puntos de coordenadas enteras que hay en el segmento que une los puntos (0,0) y (a,b), excluyendo el (0,0).

En palabras más simples, el máximo común divisor de dos o más números es el número, más grande posible, que permite dividir a esos números al mismo tiempo.

Enlaces externos

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+En [[matemáticas]] el '''máximo común divisor''' (abreviado '''mcd''' o '''m.c.d.''') de dos o más [[número entero|números enteros]] es el mayor número que los [[divisor|divide]] sin dejar [[resto]]. Por ejemplo, el mcd de 42 y 56 es 14. En efecto, <math>\scriptstyle {42 \over 14}=3</math>, <math>\scriptstyle {56 \over 14 } = 4</math> y 3 y 4 son ''[[primos entre sí]]'' (no existe ningún natural aparte de 1 que divida a la vez al 3 y al 4).
-==MOVIMIENTO CONTRA LA DEMAGOGIA ==
+== Cálculo del mcd ==
+Los dos métodos más utilizados para el cálculo del máximo común divisor de dos números son:
+; Descomposición en factores primos
+El máximo común divisor de dos números puede calcularse determinando la [[descomposición en factores primos]] de los dos números y tomando los factores comunes con su menor exponente, el producto de los cuales será el mcd. Por ejemplo, para calcular el máximo común divisor de 48 y de 60 obtenemos la factorización en factores primos
+De las factorizaciones de 48 y 60:
-El Movimiento Contra la Demagogia (MCD) es una asociación o comité creado por Francsico Alcántara Sánchez destinado a velar por la buena confraternidad entre los seres humanos evitando la presencia de la demagogia en si mismo. Es una organización social, elaborada con la finalidad de dar fin a la demagogia o disminuir su presencia de la sociedad para un buen desempeño de las relaciones humanas.
+{|
-----
+|
+:{|
+| <math>
+   \begin{array}{r|l}
+& 2  \\
+& 2  \\
+& 2  \\
+& 2  \\
+& 3  \\
+&
+   \end{array}
+  </math>
+|-
+| <math>
+= 2^4 \cdot 3 \,
+</math>
+|}
+|
+:{|
+| <math>
+   \begin{array}{r|l}
+& 2  \\
+& 2  \\
+& 3  \\
+& 5  \\
+&
+   \end{array}
+</math>
+|-
+| <math>
+= 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \,
+</math>
+|}
+|}
+El mcd son los factores comunes con su menor exponente, esto es:
-== ¿Cómo surge? ==
+: <math>
+   mcd (48, 60) =
+^2 \cdot 3 =
+</math>
-El MCD (Movimiento Contra Demagogia) surge tras la intolerancia de a presencia demagoga. Surge ante el deseo de los seres humanos por convivir en una sociedad donde reine la paz, el amor, y la tranquilidad espiritual, lo que conlleva a los seres humanos a incorporarse en un movimiento el cual repela la demagogia para así cumplir sus necesidades primordiales las cuales son vivir en comunión.
-________________________________________
+En la práctica, este método solo es operativo para números pequeños tomando en general demasiado tiempo calcular la descomposición en factores primos de dos números cualesquiera.
+; Algoritmo de Euclides
-== Objetivos ==
+Un método más eficiente es el [[algoritmo de Euclides]], que utiliza el [[algoritmo de la división]] junto al hecho que el mcd de dos números también divide al resto de dividir el mayor por el más pequeño: se divide 60 por 48 dando un cociente de 1 y un resto de 12. El mcd será por tanto divisor de 12. Después se divide 48 por 12 dando un resto de 0, lo que significa que 12 es el mcd. Formalmente puede describirse como:
+:<math>\operatorname{mcd}(a,0) = a</math>
-Al igual que toda organización o movimiento la DMC (Movimiento Contra Demagogia) tiene objetivos entre los cuales se pueden situar los siguientes:
+:<math>\operatorname{mcd}(a,b) = \operatorname{mcd}(b,a - b \left\lfloor {a \over b} \right\rfloor).</math>
-. Incentivar a aquellos individuo de aspecto negativo inclinado hacia la demagogia a retirarse de esa mala práctica y sumarse al cambio el cual representa dicha organización.
-. Efectuar talleres de capacitación mental a aquellos individuos de manera tal que su sistema emocional tenga agentes que no le permitan caer en esta ola negativa.
-. Fomentar el crecimiento de la organización para que el número de integrantes aumente. 4. Eliminar el presencia demagoga del ambiente donde nos edificamos.
-________________________________________
+; Mcd de tres o más números
+El máximo común divisor de tres números se puede calcular como sigue: mcd(''a'',''b'',''c'') = mcd(''a'', mcd(''b'',''c'')).
-== REQUERIMIENTOS ==
+== Aplicaciones ==
+El m.c.d. se utiliza para simplificar [[fracción|fracciones]]. Por ejemplo, para simplificar la fracción <math>\frac {48}{60}</math> se calcula primero el mcd(60, 48) = 12, dividiéndose el numerador y el denominador de la fracción inicial por 12 para obtener la fracción simplificada <math>\frac {4}{5} </math>.
+El m.c.d. también se utiliza para calcular el [[mínimo común múltiplo]] de dos números. En efecto, el producto de los dos números es igual al producto de su máximo común divisor por su mínimo común múltiplo. Asi, para calcular el mínimo común múltiplo de 48 y de 60, calculamos primero su mcd, 12, siendo su mínimo común múltiplo <math>\frac {48 * 60}{12} </math> = 240.
-Todo aquel que desee integrarse al movimiento le recibimos de una manera muy positiva. Es necesario que en tu mensaje personal declare que ya es miembro del MCD. Cómo? Poniendo lo siguiente:
-MCD Movimiento Contra La Demagogia, Jornada Anti Dema, Súmate Al Cambio soy miembro, y tu?
+== Propiedades ==
-El MCD como gratificación para los integrantes de dicha organización comunitaria estará efectuando talleres para los miembros así como también fiestas , viajes celebraciones etc. para los miembros de está hermandad.
+. Si <math>\ mcd(a,b)=d</math> entonces <math>\ mcd\left(\frac{a}{d},\frac{b}{d}\right)= 1 </math>
+. Si <math>\ m</math> es un entero, <math>\ mcd(ma,mb)= |m|\cdot mcd(a,b)</math>
+. Si <math>\ p</math> es un número primo, entonces <math>\ mcd(p,m)=p</math> o bien <math>\ mcd(m,p)=1</math>
+. Si <math>\ d=mcd(m,n),\ m=dm',\ n=dn'</math>, entonces <math>\ mcd(m',n')=1</math>
+. Si <math>d=mcd(m,n),\ m=d'm'',\ n=d'n'',\ mcd(m'',n'')=1</math>, entonces <math>\ d=d' </math>
+. Si <math>\ d'</math> es un divisor común de <math>\ m</math> y <math>\ n</math>, entonces <math>d'\mid mcd(m,n)</math>
+. Si <math>\ m=nq+r</math>, entonces <math>\ mcd(m,n)=mcd(n,r)</math>
+. Si <math>\ m=p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{\alpha_k}</math> y <math>\ n=p_1^{\beta_1}\cdots p_k^{\beta_k},\ </math><math>\alpha_i, \beta_i\geq 0, i=1,...,k</math>, entonces:
+<center><math> mcd(m,n)=p_1^{min(\alpha_1,\beta_1)}\cdots p_k^{min(\alpha_k,\beta_k)}</math></center>
+La última propiedad dice que el máximo común divisor de dos números resulta ser el producto de sus factores primos comunes elevados al menor exponente....
+[[Geometría|Geométricamente]], el máximo común divisor de ''a'' y ''b'' es el número de puntos de coordenadas enteras que hay en el segmento que une los puntos (0,0) y (''a'',''b''), excluyendo el (0,0).
+En palabras más simples, el máximo común divisor de dos o más números es el número, más grande posible, que permite dividir a esos números al mismo tiempo.
+== Enlaces externos ==
+* [http://enciclopedia.us.es/index.php/M%C3%A1ximo_com%C3%BAn_divisor El Máximo común divisor en Enciclopedia libre universal en español]
+* [http://gcd.awardspace.com/index_sp.php La calculadora MCD en línea ( 4 métodos )]
+* [http://www.cinosargos.com/joaquimrehuesdomenech/ MCD en números decimales]
+{{ORDENAR:Maximo comun divisor}}
+[[Categoría:Aritmética elemental]]
+[[als:Größter gemeinsamer Teiler]]
+[[ar:قاسم مشترك أكبر]]
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+[[de:Größter gemeinsamer Teiler]]
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+[[en:Greatest common divisor]]
+[[eo:Plej granda komuna divizoro]]
+[[et:Suurim ühistegur]]
+[[fa:بزرگ‌ترین مقسوم علیه مشترک]]
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+[[it:Massimo comun divisore]]
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+[[ru:Наибольший общий делитель]]
+[[sk:Najväčší spoločný deliteľ]]
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+[[sq:PMP]]
+[[sr:Највећи заједнички делилац]]
+[[sv:Största gemensamma delare]]
+[[te:గరిష్ఠ సామాన్య భాజకం]]
+[[th:ตัวหารร่วมมาก]]
+[[uk:Найбільший спільний дільник]]
+[[ur:عاد اعظم]]
+[[vi:Ước số chung lớn nhất]]
+[[yi:גרעסטער געמיינזאמער טיילער]]
+[[zh:最大公因數]]