Estadística de Maxwell-Boltzmann

Representación gráfica de la función densidad de distribución de Maxwell-Boltzmann.

En Física, la estadística de Maxwell-Boltzmann es una función estadística desarrollada para modelizar el comportamiento de sistemas físicos regidos por la mecánica clásica. Esta función estadística clásica formulada originalmente por los físicos J.C. Maxwell y L. Boltzmann, rige la distribución de un conjunto de partículas en función de los posibles valores de energía. Para cada sistema termodinámico, la distribución de Maxwell-Boltzmann no es otra cosa que la aplicación del colectivo canónico de la mecánica estadística, bajo el supuesto no-cuántico de que los números de ocupación de cada estado disponible son pequeños comparados con el número máximo de ocupación.

Esta función es una densidad de distribución cuya expresión es:

$f(\epsilon _{i})=A(N;T)e^{(-\epsilon _{i})/kT}$

O de forma más generalizada, puede expresarse como:

${\frac {N_{i}}{N}}={\frac {g_{i}}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/kT}}}={\frac {g_{i}e^{-\epsilon _{i}/kT}}{Z}}$

En dónde:

• $A(N;T)$: es una función dependiente de $N$, el número de partículas en el sistema y de $T$, la temperatura del sistema en Kelvin.
• $N_{i}$ es el número de partículas en el estado i.
• $\epsilon _{i}$ es la energía del estado i-ésimo.
• $g_{i}$ es la degeneración del nivel de energía i, es decir, el número de estados (excluyendo el estado de partícula libre) con energía $\epsilon _{i}$.
• $\mu$ es el potencial químico.
• $k$ es la constante de Boltzmann.
• $N$ es el número total de partículas:

$N=\sum _{i}N_{i}\,$

• $Z$ es la función partición:

$Z=\sum _{i}g_{i}e^{-\epsilon _{i}/kT}$

• $e$ es el número de Euler.

La distribución de Maxwell-Boltzmann se ha aplicado especialmente a la teoría cinética de gases, y otros sistemas físicos, además de en econofísica para predecir la distribución de la renta. En realidad la distribución de Maxwell-Boltzmann es aplicable a cualquier sistema formado por N "partículas" o "individuos" que interacambian estacionariamente entre sí una cierta magnitud m y cada uno uno de ellos tiene una cantidad m_i de la magnitud m y a lo largo del tiempo se cumple que M := m₁+m₂+...+ m_N.

Límites de aplicación

Para un sistema de partículas cuánticas, la hipótesis de que $N_{i}$ sea substancialmente menor que $g_{i}$ para los estados diferentes del fundamental en general no se cumplirá y es necesario acudir a la estadística de Bose-Einstein si las partículas son bosónicas o a la estadística de Fermi-Dirac si las partículas son fermiónicas.

Las estadísticas de Bose–Einstein y Fermi–Dirac pueden ser expresadas como:

$N_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/kT}\pm 1}}$

Asumiendo que el valor mínimo de $\epsilon _{i}$ es bastante pequeño, se puede verificar que la condición en la cual la distribución de Maxwell-Boltzmann es válida es cuando se cumple que:

$e^{-\mu /kT}\gg 1$

Para un gas ideal, podemos calcular los potenciales químicos utilizando el desarrollo de la ecuación Sackur–Tetrode para demostrar que:

$\mu =\left({\frac {\partial E}{\partial N}}\right)_{S,V}=-kT\ln \left({\frac {V}{N\Lambda ^{3}}}\right)$

dónde $E$ es la energía interna total, $S$ es la entropía, $V$ es el volumen, y $\Lambda$ es el ancho de banda termal de de Broglie. La condición de aplicación para la distribución Maxwell-Boltzmann en un gas ideal resulta:

${\frac {V}{N\Lambda ^{3}}}\gg 1.$

Bibliografía

• Selva, Rodolfo N. (abril de 1997). «Capítulo IV». En La Llave Ediciones S.R.L., ed. Dispositivos Electrónicos (1ra edición edición). Buenos Aires. pp. 84 a 99. ISBN 950-795-009-5. 

Véase también

• Distribución de probabilidad
• Estadística de Fermi-Dirac
• Estadística de Bose-Einstein