Modelo de crecimiento de Solow

Modelo de crecimiento de Robert Solow (1956), conocido como el modelo exógeno de crecimiento o modelo de crecimiento neoclásico, es un modelo macroeconómico creado para explicar el crecimiento económico y las variables que inciden en este en el largo plazo.

Introducción

El modelo busca encontrar las variables relevantes que ocasionan el crecimiento económico de un país, en cuanto algunas ayudan a mejorar la situación solo en el corto plazo, y otras, que afectan a las tasas de crecimiento del largo plazo. Se toman todas las variables que el modelo considera como significativas en el proceso de crecimiento, como exógenas, pero muestra la incidencia de estas en el proceso de crecimiento. El modelo utiliza la función de producción Cobb-Douglas.

$Y=AK^{a}L^{1-a}\,$

Definiendo las variables, tenemos que:

$K\,$ = Capital total

$L\,$ = Fuerza laboral o trabajo total.

$A\,$ = Nivel de tecnología

$Y\,$ = Producto

$a\,$ = Fracción del producto producida por el capital, o coeficiente de los rendimientos marginales decrecientes.

Se sabe, por otro lado, que necesariamente $0<a<1$; esto implica posteriormente la posibilidad de convergencia a un producto estacionario que deja de crecer mediante la tasa de ahorro.

Sea la función de producto per cápita efectivo $(Y/AL)=(K/L)^{a}\,$; $y=k^{a}\,$, que se obtiene dividiendo la ecuación Cobb-Douglas por AL.

Nótese que la función $y=k^{a}\,$ dependerá del coeficiente de alpha. Asumiendo el producto per cápita efectivo Y/AL en la función anterior, tendremos que mientras menor sea α habrá un producto per cápita efectivo cada vez menor, es decir, la función toma la forma de una raíz, aunque la función es divergente al infinito si k tiende al infinito.

Alfa también es la fracción del producto del capital. Si alfa es 1, la fracción del producto producida por el capital es absoluta, y como en la función de producto total no per cápita L tiene como coeficiente $(1-a)\,$, se tendría que para alfa igual a 1, la incidencia de la fuerza laboral es 0.

La función Cobb-Douglas tiene retornos constantes a escala, y rendimientos marginales decrecientes al capital y al trabajo.

La primera derivada de la función de producto per cápita efectivo cumple las condiciones de Inada, a saber:

$\lim _{k\to \infty }f'(k)=0$, $\lim _{k\to 0}f'(k)=\infty$

Estos límites son conocidos como las condiciones de Inada, y explican que la derivada de f(k), es decir, el producto marginal del capital es 0 cuando k es alto. además explica que cuando k es demasiado bajo, el producto marginal es muy alto. Estas últimas condiciones, aunque bastante evidentes matemáticamente, posteriormente implicarán que países con una cantidad de capital baja crecerían a tasas altas, mientras que países con altas cantidades de capital crecerían a tasas más bajas, debido a los rendimientos marginales decrecientes de este.

Ecuaciones relevantes del modelo de Solow

Existe una ecuación relevante del modelo de Solow, y es la ecuación de acumulación de capital.

$\Delta K=sY-\,$$\delta K\,$

Donde

$s\,$ = Tasa de ahorro

$Y\,$ = Producto de la economía

$K\,$ = Capital total

$\delta \,$ = tasa de Depreciación

Esta ecuación refleja la acumulación de capital en términos absolutos. $sY\,$ representa la inversión efectiva que pueda realizar una economía, que es el producto multiplicado por la tasa de ahorro. En el modelo, todo ahorro se invierte.

La otra parte de la ecuación representa la inversión de reposición $\delta K\,$, que representa cuanto capital ya no sirve o es inútil para la acumulación de capital. Para analizar más la inversión de reposición, es necesario determinar esta misma ecuación en términos per cápitas y efectivos.

Si se toma $k=(K/AL)\,$, derivando y utilizando la regla de la cadena, y luego reemplazando en la ecuación de acumulación de capital y teniendo en cuenta que:

$\Delta L/L,$=$n\,$, $\Delta A/A,$=$g\,$, se obtiene:

$\Delta k=sy-\,$$(\delta +n+g)k\,$ (1.2)

Esta ecuación es la misma que la anterior, pero en términos per cápita y efectivos, con una inversión de reposición igual a $(\delta +n+g)k\,$, que muestra la cantidad de inversión necesaria para mantener el capital constante. Aumentos de depreciación, tendrían efectos de disminución de la acumulación de capital, y por lo tanto, un menor [estado estacionario] del capital. Aumentos en la tasa de crecimiento de la población, causarían un aumento menor o disminución de la acumulación de capital per cápita efectivo.

Es necesario que la inversión efectiva pueda sostener los movimientos o la depreciación misma, así como el crecimiento de la población y la nueva tecnología que necesitan inversión física para producirla. Si tenemos altas tasas de crecimiento de la población, es difícil que el capital per cápita efectivo crezca, ya que habrá mayor maquinaria que repartir entre los nuevos individuos potencialmente productivos que entran al mercado. Así también, aumentos de la tasa de tecnología necesitan producir nueva maquinaria, por lo que es necesario que haya inversión efectiva para sostener aumentos de la tecnología.y muchs cosModelo de crecimiento de Robert Solow (1956), conocido como el modelo exógeno de crecimiento o modelo de crecimiento neoclásico, es un modelo macroeconómico creado por explicar el crecimiento económico y las variables que inciden en este en el largo plazo. El modelo busca encontrar las variables relevantes que ocasionan el crecimiento económico de un país, en cuanto algunas ayudan a mejorar la situación solo en el corto plazo, y otras, que afectan a las tasas de crecimiento del largo plazo. Se toman todas las variables que el modelo considera como significativas en el proceso de crecimiento, como exógenas, pero muestra la incidencia de estas en el proceso de crecimiento. El modelo utiliza la función de producción Cobb-Douglas.

Definiendo las variables, tenemos que:

= Capital total
= Fuerza laboral o trabajo total.
= Nivel de tecnología
= Producto
= Fracción del producto producida por el capital, o coeficiente de los rendimientos marginales decrecientes.

Se sabe, por otro lado, que necesariamente 0 < a < 1; esto implica posteriormente la posibilidad de convergencia a un producto estacionario que deja de crecer mediante la tasa de ahorro. Sea la función de producto per cápita efectivo ; , que se obtiene dividiendo la ecuación Cobb-Douglas por AL. Nótese que la función dependerá del coeficiente de alpha. Asumiendo el producto per cápita efectivo Y/AL en la función anterior, tendremos que mientras menor sea α habrá un producto per cápita efectivo cada vez menor, es decir, la función toma la forma de una raíz, aunque la función es divergente al infinito si k tiende al infinito. Alfa también es la fracción del producto del capital. Si alfa es 1, la fracción del producto producida por el capital es absoluta, y como en la función de producto total no per cápita L tiene como coeficiente , se tendría que para alfa igual a 1, la incidencia de la fuerza laboral es 0. La función Cobb-Douglas tiene retornos constantes a escala, y rendimientos marginales decrecientes al capital y al trabajo. La primera derivada de la función de producto per cápita efectivo cumple las condiciones de Inada, a saber: ,

Estos límites son conocidos como las condiciones de Inada, y explican que la derivada de f(k), es decir, el producto marginal del capital es 0 cuando k es alto. además explica que cuando k es demasiado bajo, el producto marginal es muy alto. Estas últimas condiciones, aunque bastante evidentes matemáticamente, posteriormente implicarán que países con una cantidad de capital baja crecerían a tasas altas, mientras que países con altas cantidades de capital crecerían a tasas más bajas, debido a los rendimientos marginales decrecientes de este.y eso nomModelo de crecimiento de Robert Solow (1956), conocido como el modelo exógeno de crecimiento o modelo de crecimiento neoclásico, es un modelo macroeconómico creado por explicar el crecimiento económico y las variables que inciden en este en el largo plazo. El modelo busca encontrar las variables relevantes que ocasionan el crecimiento económico de un país, en cuanto algunas ayudan a mejorar la situación solo en el corto plazo, y otras, que afectan a las tasas de crecimiento del largo plazo. Se toman todas las variables que el modelo considera como significativas en el proceso de crecimiento, como exógenas, pero muestra la incidencia de estas en el proceso de crecimiento. El modelo utiliza la función de producción Cobb-Douglas.

Definiendo las variables, tenemos que:

= Capital total
= Fuerza laboral o trabajo total.
= Nivel de tecnología
= Producto
= Fracción del producto producida por el capital, o coeficiente de los rendimientos marginales decrecientes.

Se sabe, por otro lado, que necesariamente 0 < a < 1; esto implica posteriormente la posibilidad de convergencia a un producto estacionario que deja de crecer mediante la tasa de ahorro. Sea la función de producto per cápita efectivo ; , que se obtiene dividiendo la ecuación Cobb-Douglas por AL. Nótese que la función dependerá del coeficiente de alpha. Asumiendo el producto per cápita efectivo Y/AL en la función anterior, tendremos que mientras menor sea α habrá un producto per cápita efectivo cada vez menor, es decir, la función toma la forma de una raíz, aunque la función es divergente al infinito si k tiende al infinito. Alfa también es la fracción del producto del capital. Si alfa es 1, la fracción del producto producida por el capital es absoluta, y como en la función de producto total no per cápita L tiene como coeficiente , se tendría que para alfa igual a 1, la incidencia de la fuerza laboral es 0. La función Cobb-Douglas tiene retornos constantes a escala, y rendimientos marginales decrecientes al capital y al trabajo. La primera derivada de la función de producto per cápita efectivo cumple las condiciones de Inada, a saber: ,

Estos límites son conocidos como las condiciones de Inada, y explican que la derivada de f(k), es decir, el producto marginal del capital es 0 cuando k es alto. además explica que cuando k es demasiado bajo, el producto marginal es muy alto. Estas últimas condiciones, aunque bastante evidentes matemáticamente, posteriormente implicarán que países con una cantidad de capital baja crecerían a tasas altas, mientras que países con altas cantidades de capital crecerían a tasas más bajas, debido a los rendimientos marginales decrecientes de este. y eso...

Equilibrio del estado estacionario

El equilibrio estacionario es la condición del modelo en que finaliza el aumento del capital reflejado en la ecuación de acumulación de capital per cápita (1.2), que termina con un capital fijo sin variaciones adicionales.

${\begin{cases}\Delta k=0\\sy=(n+g+\delta )k\end{cases}}$

Este es el equilibrio de estado estacionario. El equilibrio en el modelo de Solow es la senda de la convergencia de los países: una economía, mediante la propiedad de productos marginales decrecientes, tiende a decrecer su producción marginal; o dicho en otros términos, la producción total crece cada vez menos. Por lo que $sy$ tiende también a crecer menos, lo que eventualmente hace que se iguale a $(n+g+\delta )k\,$. Esta condición mantiene el stock de capital per cápita efectivo constante, sin variaciones. Sin embargo, en estado estacionario, es posible afirmar que el producto per cápita crece a la tasa de crecimiento de la tecnología, y el producto total crece a la tasa de crecimiento de la población y de la tecnología. El aporte de estas variables exógenas logran explicar el crecimiento en el largo plazo, es decir, cuando la economía alcanza su capital estacionario.

Este es el gráfico principal del modelo de Solow, y muestra que en el equilibrio de largo plazo, $sy\,$=$(n+g+\delta )k\,$. La razón de la convergencia es que y es igual a $k^{a}\,$, la función del producto per cápita tiene rendimientos decrecientes, así también, la función de inversión efectiva $sy\,$. De esta forma, los rendimientos decrecientes del capital per cápita hacen que haya una convergencia entre la inversión de reposición y la inversión efectiva. En el gráfico, k "EST" representa el estado de capital estacionario y, por lo tanto, el estado de producto estacionario.

Aumentos en la tasa de ahorro

Un aumento en la tasa de ahorro haría que $sy\,$ aumente, por lo que aumenta el capital de estado estacionario. El efecto de la tasa de ahorro tiene un efecto de crecimiento más rápido en el corto plazo, pero en el largo plazo el efecto es nulo. Básicamente, la tasa de ahorro tiene efectos en el nivel de producto, no así los efectos de la tasa del aumento de la tecnología, que son efectos de crecimientos en el largo plazo.

Condiciones del Producto en estado estacionario

Teniendo la igualdad $sy\,$=$(n+g+\delta )k\,$, podemos reemplazar el capital, obteniendo así el capital de estado estacionario.

${\frac {K^{*}}{L}}=A\left({\frac {s}{\delta +g+n}}\right)^{\frac {1}{1-\alpha }}$.

Además, utilizando $y=k^{a}\,$ , obtenemos:

${\frac {Y^{*}}{L}}=A\left({\frac {s}{\delta +g+n}}\right)^{\frac {\alpha }{1-\alpha }}$.

En estado estacionario, es posible determinar las siguientes conclusiones:

Aumentos del nivel de tecnología producirían un mayor producto per cápita estacionario. Así también, mayor fuerza de trabajo incidiría positivamente en el producto estacionario. Inversamente, aumentos de la tasa de crecimiento de la población, y altas depreciaciones, tendrían como resultado bajos productos per cápita efectivos estacionarios.

En estado estacionario, dado que $\Delta k=0\,$, la tasa de crecimiento del producto total es igual a $n+g$ y la tasa de crecimiento del producto per cápita es igual a $g$. El producto per cápita en estado estacionario crecería solo a la tasa de crecimiento de la tecnología.

La regla de oro

La regla de oro consiste en un capital óptimo que maximiza el consumo. Si asumimos que la utilidad depende del consumo, el capital de estado estacionario no es sinónimo de maximización, ya que con un capital óptimo se puede hacer el consumo máximo. Al respecto, es visible que:

${\begin{aligned}&s{\dot {y}}=k(n+g+\delta )\\&c=y-sy;sy=k(n+g+\delta )\\&c=f(k)-k(n+g+\delta )\\\end{aligned}}$.

Esta última ecuación representa el consumo en estado estacionario, es decir, el en el largo plazo. Necesariamente, para encontrar un capital que maximice el consumo , debemos derivar esta ecuación con respecto al capital.

$c=f(k)-k(n+g+\delta )$.

Derivando el consumo respecto al capital, se tiene:

${\frac {dc}{dk}}={\frac {df(k)}{dk}}-(n+g+\delta )$.

Igualando a cero, se tiene:

${\begin{aligned}&{\frac {df(k)}{dk}}=(n+g+\delta )\\&pmg(k)=(n+g+\delta )\\\end{aligned}}$.

Esto nos dice, que el producto marginal del capital, o la última unidad de capital generada debe ser igual a la tasa de crecimiento de la población, la tasa de depreciación y de tecnología para que el consumo sea máximo. Desde el punto de vista algebraico, se tiene que el capital de la regla de oro es el siguiente:

${\begin{aligned}&\alpha k^{\alpha -1}=(n+g+\delta )\\&k^{\alpha -1}={\frac {(n+g+\delta )}{\alpha }}\\&k^{1-\alpha }={\frac {\alpha }{n+g+\delta }}\\&k_{RO}=\left({\frac {\alpha }{n+g+\delta }}\right)^{\frac {1}{1-\alpha }}\\\end{aligned}}$

Nótese la similitud con el capital estacionario. Se puede inferir, que la tasa de ahorro que maximiza el consumo es la siguiente:

${\begin{aligned}&k_{RO}=k_{EST}=\left({\frac {\alpha }{n+g+\delta }}\right)^{\frac {1}{1-\alpha }}=\left({\frac {s}{n+g+\delta }}\right)^{\frac {1}{1-\alpha }}\\&s=\alpha \\\end{aligned}}$.

Por lo tanto, necesariamente la condición para que el capital estacionario sea igual al capital de la regla de oro y se maximice el consumo es que la tasa de ahorro debe ser igual a la fracción del producto producida por el capital, es decir el alfa.

Evidencia empírica

Mankiw, Romer y Weil (1992) basándose en el modelo de Solow examinaron las dierencias internacionales de renta per cápita son una función deles iniciales de productividad del trabajo. Bajo esos supuestos el 60% de las diferencias de renta en 1985 en una muestra de noventa y ocho países parecían se explicables. Sin embargo, cuando calcularon la contribución implícita del capital en la renta nacional a partir del modelo, resultaron ser casi el doble que las estimaciones directas. Esto suponía una dificultad al modelo de Solow como modelo explicativo.​

Para resolver esta discrepancia construyeron un modelo modificado, que contemplara la acumulación de capital humano. Con ese nuevo modelo podían explicar alrededor del 80% de la variación observada, y una contribución del capital físico cercana al 30% en acuerdo con la cantidad estimada directa. Así que concluyeron que si bien el modelo de Solow no explicaba suficientemente bien los datos una modificación del mismo sí parecía dar cuenta de los datos. Sin embargo, Grossman y Helpman (1994) observan que la productividad total de los factores (PTF) tiene un papel importante. Dado que los incrementos de PTF estimulan la inversión pudiera ser que desde un punto de vista causal no sea la acumulación de capital la causa original del crecimiento sino otros factores que hacen aumentar la PTF.​

Referencia

Bibliografía

• N. G. Mankiw, D. Romer & D. Weil (1992): "A contribution to the Empirics Economic Growth", en Quarterly Journal of Economics, 107, pp. 407-438.
• David, Romer (2002): Macroeconomía Avanzada, Editorial McGraw Hill, Madrid, ISBN 84-481-3642-X
• Mankiw, N. Gregory (2007): Macroeconomía, Editorial Antoni Bosch, 2007. ISBN 978-84-95348-34-0
• M. G. Grossman & E. Helpman (1994): "Endogenous Innovation in Theory of Growth", Journal of Economic Perspectives, 8, pp. 23-44.
• Clases de Guillermo Pattillo, Macroeconomía I y III.