Teoría cuántica de campos

La teoría cuántica de campos (o QFT por Quantum Field Theory) es un marco teórico que aplica los principios de la mecánica cuántica a los sistemas clásicos de campos continuos, como por ejemplo el campo electromagnético. Mediante este formalismo puede describirse la evolución e interacciones de un sistema compuesto de partículas cuánticas cuyo número no es constante, esto es, que pueden crearse o destruirse.

La dispersión inelástica de neutrones en un cristal es el resultado de la interacción del neutrón con los átomos de la red en vibración. El proceso se modela de manera más sencilla al considerar los cuantos de las ondas sonoras del cristal, los fonones, ya que los procesos relevantes involucran sólo dos cuerpos: el neutrón y un fonón absorbido o emitido por el primero. La teoría cuántica de campos es el marco teórico que se utiliza en tales procesos.

Su principal aplicación es a la física de altas energías, donde se combina con los postulados de la relatividad especial. En ese régimen es capaz de acomodar todas las especies de partículas subatómicas y sus interacciones, así como de realizar predicciones genéricas muy importantes: la relación entre spin y estadística, la conservación de la simetría CPT, la existencia de antimateria, etc. Además en física de la materia condensada desempeña un papel muy importante, utilizándose para explicar fenómenos como la superconductividad.

En particular, la teoría cuántica del campo electromagnético, conocida como electrodinámica cuántica, fue el primer ejemplo de teoría cuántica de campos que se estudió y es la teoría física probada experimentalmente con mayor precisión. Los fundamentos de la teoría de campos cuántica fueron desarrollados entre el fin de los años 20 y los años 50, notablemente por Dirac, Fock, Pauli, Tomonaga, Schwinger, Feynman, y Dyson.

(La palabra «partícula» se utiliza a nivel introductorio en mecánica cuántica para enfatizar al comportamiento clásico de un punto material. En este artículo «partícula» se refiere a la entidad puramente cuántica resultante de cuantizar el punto material, que posee el comportamiento denominado como dualidad onda-corpúsculo, como un electrón o un fotón)

Historia

El desarrollo de la teoría cuántica de campos se llevó a cabo simultáneamente con el de la propia mecánica cuántica. Comenzó en los años 20 en un intento de describir el campo electromagnético mediante esta última. En 1926 Werner Heisenberg, Pascual Jordan y Max Born calcularon el espectro de energías de la radiación en ausencia de cargas (el problema del cuerpo negro). En 1927 Paul Dirac desarrolló la primera versión de la electrodinámica cuántica, que incluye la interacción del campo con cargas eléctricas.

También fueron decisivos los intentos de incorporar los principios de la relatividad especial en el seno de la teoría cuántica. Con el desarrollo de las ecuaciones de onda relativistas, como la ecuación de Klein-Gordon o la de Dirac, nació como tal la teoría, una vez superados los defectos aparentes de éstas. Así, en la llamada segunda cuantización, se reformularon estas ecuaciones de tal manera que describían campos cuánticos (no partículas individuales), pudiendo además dar cuenta de la estadística de los sistemas de muchas partículas.

A pesar de sus éxitos iniciales, la teoría cuántica de campos estaba plagada de problemas teóricos muy serios. Muchas cantidades físicas en apariencia inocuas, como el desplazamiento energético del electrón durante el efecto Stark, daban como resultado al calcularlas un valor infinito, un resultado sin sentido. Este "problema de las divergencias" fue resuelto durante los años 40, a través de un proceso conocido como renormalización. Esta etapa culminó con el desarrollo de la moderna electrodinámica cuántica (QED, por Quantum Electrodynamics).

Comenzando en los 50 con el trabajo de Yang y Mills, QED fue generalizada a una clase más general de teorías conocidas como teorías gauge. A lo largo de los años 60 y 70 se formuló el conjunto de teorías gauge conocido como el modelo estándar de la física de partículas, que describe todas las partículas elementales conocidas y sus interacciones.

También durante los 70, una serie de desarrollos paralelos en el estudio de transiciones de fase en física de la materia condensada llevaron a un conjunto de ideas y métodos conocido como grupo de renormalización. Esto resultó en una comprensión más profunda del esquema de renormalización inventado en los años 40, y en una unificación de las técnicas de teoría cuántica de campos utilizadas en física de partículas y física de la materia condensada.

Principios básicos

Motivación y delimitación del término

Limitaciones de la mecánica cuántica ordinaria

La mecánica cuántica convencional no es capaz de describir algunos aspectos de ciertos sistemas físicos. La ecuación de Schrödinger, que describe la evolución un sistema físico en mecánica cuántica, tiene la siguiente forma:

$\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )\right]\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}(\mathbf {r} ,t)$

donde $\Psi (\mathbf {r} )=\Psi (\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{n})$ es la función de onda de de $n$ partículas, m su masa, y V su energía potencial.

Creación y destrucción

Esta ecuación describe la evolución de un sistema con número finito e invariable de partículas (a saber, $n$). Sin embargo, en experimentos de altas energías es corriente que las partículas elementales suficientemente masivas decaigan en varias partículas más ligeras, como se deduce a su vez de la famosa relación masa-energía de Einstein. Otro ejemplo, es la aniquilación de un electrón y un positrón en fotones. Además, en el contexto de física del estado sólido, las excitaciones de un colectivo de átomos se reinterpretan como pseudopartículas, como el fonón, cuyo número es variable. La ecuación de Schrödinger formulada de esta manera no es por tanto apropiada para describir este tipo de sistemas en el que el número de cuerpos no es fijo.​

Invariancia relativista

Además esta ecuación no refleja las propiedades de la cinemática relativista. Su límite clásico se corresponde con la mecánica galileana en lugar de la mecánica relativista: el primer término de la izquierda se corresponde sólo con la energía cinética newtoniana $p^{2}/2m$, en lugar de la expresión einsteniana ${\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}$.

Es posible modificar la ecuación de Schrödinger para hacerla invariante relativista, dando por resultado la ecuación de Klein-Gordon o la ecuación de Dirac. Sin embargo, estas ecuaciones tienen muchas propiedades insatisfactorias: por ejemplo, predicen la existencia de partículas con energía negativa, de modo que el sistema resulta ser inestable.​ Tales defectos son debidos a que estas ecuaciones tampoco contemplan la posibilidad de que las partículas puedan crearse o destruirse, consecuencia directa de la teoría de la relatividad, como se menciona en el epígrafe anterior.

Mecánica cuántica y campos clásicos

Desde un punto de vista formal, una teoría cuántica de campos no es más que el resultado de cuantizar el sistema clásico de una teoría clásica de campos:

• En mecánica clásica, un sistema físico está descrito mediante coordenadas (los grados de libertad) y velocidades. Cualquier otra magnitud física u observable es expresable en función de estas. Por ejemplo, un conjunto de partículas interactuando entre sí viene descrito por sus coordenadas $\mathbf {x} _{i}$ y momentos $\mathbf {p} _{i}$.

• La mecánica cuántica describe los sistemas físicos mediante un espacio de estados posibles para los mismos, y un conjunto de operadores que representan los observables físicos que pueden medirse. Estas son las herramientas que permiten predecir las probabilidades asociadas a un experimento de física cuántica.

• En el proceso de cuantización, dado un sistema clásico, se define para cada observable su operador correspondiente, definido sobre un cierto espacio de estados. Por ejemplo, para un sistema de múltiples partículas como el del primer punto, descrito clásicamente por sus coordenadas y momentos, se obtienen entre otros sus operadores posición y momento, ${\hat {X}}_{i}$ y ${\hat {P}}_{i}$.​

• Por otro lado, una teoría clásica de campos no es más que una teoría clásica cuyos grados de libertad vienen descritos por campos: funciones definidas en cada punto del espacio y que evolucionan en el tiempo, $\phi (\mathbf {r} )$; siendo ejemplos el campo electromagnético o el campo de densidades de un fluido. Esto quiere decir que en cierto sentido estos sistemas poseen infinitas coordenadas: para precisar el estado del sistema es necesario conocer el valor del campo en cada punto del espacio $\mathbf {r}$.

• De igual modo, en una teoría cuántica de campos la cuantización sustituye los campos involucrados en la descripción del sistema por operadores. En particular, el valor del campo en cada punto $\phi (\mathbf {r} )$ del espacio es un grado de libertad (una coordenada) independiente. Los infinitos grados de libertad se reflejan en una colección infinita de operadores, ${\hat {\phi }}(\mathbf {r} )$.​

Sin embargo, la cuantización de un campo clásico arroja consecuencias novedosas: un campo cuántico está intimamente relacionado con un colectivo de partículas de número variable.

Segunda cuantización

Las nociones clásicas de partícula y campo comparadas con su contrapartida cuántica. Una partícula cuántica está deslocalizada: su posición se reparte en una distribución de probabilidad. Un campo cuántico es equivalente a un colectivo de partículas cuánticas.

El segundo ingrediente de la teoría cuántica, junto con los operadores asociados a los observables es el espacio de estados donde actúan estos.

En el caso de una teoría cuántica de campos, este espacio de estados consiste en todas las posibles excitaciones discretas de este campo, que toma la forma de un espacio de Fock: un espacio que describe un sistema de partículas cuyo número es indeterminado. Así, los grados de libertad del campo cuántico quedan ligados a los de un conjunto de partículas idénticas que pueden crearse y destruirse. Ésta es la razón por la que la teoría cuántica de campos es una herramienta básica para describir sistemas con un número de partículas variable.

Límite continuo

La relación entre campo cuántico y colectivo de partículas no es de extrañar: está relacionada con el concepto de límite continuo. Una parte significativa de las teorías clásicas de campo describen sistemas de manera macroscópica, como por ejemplo, las vibraciones de un medio continuo. Las funciones campo representan en este caso una aproximación a los grados de libertad microscópicos del sistema. Es posible modelar estas vibraciones tomando las partículas individualmente y analizando las fuerzas entre ellas, que usualmente toman la forma de osciladores acoplados . Y es posible también comprobar como esta segunda descripción converge a la primera, en el límite en el que la separación entre partículas es nula.​ De este modo, un campo clásico es el límite de una red de partículas "sujetas por muelles".

En teoría cuántica de campos, esta relación se mantiene. Pero además, para el sistema de partículas "sujetas por muelles" (con un potencial cuadrático con la distancia), los modos normales están cuantizados. Precisamente, se comportan como excitaciones discretas, con propiedades muy similares a las de una partícula (el fonón es el ejemplo más sencillo de esto): cada modo normal representa una partícula en un cierto estado de movimiento; el número cuántico asociado a ese modo representa el número de dichas partículas. Por eso, al entender un campo como el límite de un conjunto de osciladores, su espectro de excitaciones es idéntico al de un sistema de partículas de numero indeterminado.

Espacio de Fock

Un espacio de Fock puede describirse como sigue. Dada una partícula aislada, su estado cuántico puede ser descrito respecto a un conjunto de estados $|\varphi _{1}\rangle ,\,|\varphi _{2}\rangle ,\ldots$ (una base). Dado un número arbitrario de partículas identicas, basta con especificar el número de partículas en cada posible estado individual ("números de ocupación").

Por ejemplo, en el caso de tres bosones, en los estados 1, 2 y 4, el estado total del sistema se describe como $|1,1,0,1,0,\ldots \rangle$, especificando: 1 partícula en el primer estado, 1 en el segundo, 0 en el tercero, 1 en el cuarto, 0 en el quinto, etc.

En el caso de múltiples fermiones se procede de manera similar, salvo que dado que estos obedecen el principio de exclusión de Pauli (dos fermiones no pueden estar en el mismo estado cuántico), los números de ocupación solo pueden valer 0 ó 1.

Operadores creación y destrucción y campo cuántico

Dado un espacio de Fock como el descrito arriba, es sencillo definir sus operadores de creación y destrucción,​ que simplemente añaden o restan partículas del total:

$\qquad {\hat {a}}_{2}^{\dagger }|1,0,2,0,\ldots \rangle \sim |1,1,2,0,\ldots \rangle \quad {\textrm {;}}\quad {\hat {a}}_{3}|2,1,2,0,\ldots \rangle \sim |2,1,1,0,\ldots \rangle$

La interpretación del operador campo ${\hat {\phi }}(\mathbf {r} )$ es precisamente un operador que crea y destruye partículas en la posición $\mathbf {r}$.

Esto se comprueba realizando un desarrollo en serie de Fourier, como por ejemplo en el caso de un campo escalar relativista: ${\hat {\phi }}(\mathbf {r} ,t)\sim \sum _{\mathbf {k} }{\frac {1}{\sqrt {2\omega _{\mathbf {k} }}}}e^{i\mathbf {k} \mathbf {r} }\left\{e^{-i\omega _{\mathbf {k} }}{\hat {a}}_{\mathbf {k} }+e^{i\omega _{\mathbf {k} }t}{\hat {a}}_{\mathbf {-k} }^{\dagger }\right\}$ Los operadores de creación y destrucción están referidos a partículas con un momento determinado: ${\hat {a}}_{\mathbf {k} }^{\dagger }$ es el operador que crea una partícula con un momento $\mathbf {k}$ y energía​ $\omega _{\mathbf {k} }={\sqrt {\mathbf {k} ^{2}+m^{2}}}$, y viceversa para el operador de destrucción.​

La relación entre los operadores de creación y destrucción están determinadas por la estadística del tipo de partículas descritas. Dependiendo de si las partículas son bosones o fermiones, existe una relación de conmutación (anti-conmutación) entre ellos:

$[{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}^{\dagger }]={\hat {a}}_{i}{\hat {a}}_{j}^{\dagger }-{\hat {a}}_{j}^{\dagger }{\hat {a}}_{i}=\delta _{ij}{\textrm {\ (bosones)\ ;\ }}\{{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}^{\dagger }\}={\hat {b}}_{i}{\hat {b}}_{j}^{\dagger }+{\hat {b}}_{j}^{\dagger }{\hat {b}}_{i}=\delta _{ij}{\textrm {\ (fermiones)}}$

Estas relaciones de (anti-)conmutaciónno son sino una manera de presentar las relaciones de (anti-)conmutación canónicas para el operador campo y su momento conjugado ${\hat {\pi }}(\mathbf {r} )$, propias de todo sistema cuántico, del tipo

${\hat {\phi }}(\mathbf {r} ){\hat {\pi }}(\mathbf {r} ')\mp {\hat {\pi }}(\mathbf {r} '){\hat {\phi }}(\mathbf {r} )=i\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')$

Teorías de campos

Una vez descrito el proceso de la cuantización, dando la descripción de los operadores campo y el espacio de estados en el que actúan, se procede a examinar las características concretas del sistema bajo estudio. La teoría clásica de campos se describe mediante el uso de un lagrangiano (ver más abajo), mientras que la teoría cuántica viene determinada por su hamiltoniano.

Teorías libres

El formalismo de la sección anterior se aplica de forma directa al caso de campos no interactuantes, caso conocido como teoría de campo libre. Esto quiere decir que las partículas involucradas no mantienen ninguna interacción entre sí, y se corresponde directamente con el hecho de que la teoría de campos cuantizada es lineal. El número de dichas partículas se conserva, debido a esta ausencia de interacción.

La energía total del sistema es por supuesto la suma de las energías de cada partícula.

En el caso del caso del campo escalar relativista, el hamiltoniano clásico es: $H=\int d^{3}\mathbf {r} \,{\mathcal {H}}(\mathbf {r} )={\frac {1}{2}}\int d^{3}\mathbf {r} \left\{\pi (\mathbf {r} )^{2}+\nabla ^{2}\phi (\mathbf {r} )+m^{2}\phi (\mathbf {r} )^{2}\right\}$ Al cuantizar y sustituir los campos por operadores campo se obtiene el correspondiente hamiltoniano cuántico: ${\hat {H}}=\sum _{\mathbf {k} }\omega _{\mathbf {k} }\,{\hat {a}}_{\mathbf {k} }^{\dagger }{\hat {a}}_{\mathbf {k} }$ que simplemente es la suma de la energía que corresponde a cada estado de movimiento o "nivel de energía", ponderada por el número de partículas en ese estado.​

Además de la relación entre las reglas de conmutación del campo y la estadística mencionada arriba, el tipo de partículas también depende de la teoría clásica que es cuantizada. En particular el tipo de campo que es cuantizado determina el spin de las partículas que aparecen como excitaciones discretas:

• Un campo escalar que obedece la ecuación de Klein-Gordon resulta en una teoría de bosones de spin 0, como ciertos mesones.
• Un campo espinorial que obedece la ecuación de Dirac resulta en una teoría de fermiones de spin 1/2, como los electrones o los protones.
• Las ecuaciones del campo electromagnético clásico dan una teoría de bosones de spin 1, los fotones.

Algunas de estas teorías fueron investigadas inicialmente como ecuaciones de Scrödinger relativistas para un cuerpo, de ahí el nombre de segunda cuantización.​ Es conocida la relación que existe entre el spin y la estadística de las partículas. En teoría cuántica de campos puede demostrarse que esta relación es una consecuencia directa de la unión entre mecánica cuántica y relatividad especial.​

Teorías interactuantes

Para tratar con un sistema de partículas interactuantes, la teoría de campos que se cuantiza ha de ser no lineal. Esto significa que el lagrangiano y -o- el hamiltoniano clásicos (ver más abajo) son no cuadráticos (involucran productos de más de dos campos en el mismo punto), o de otro modo, que la ecuación del campo involucra algún producto de al menos dos campos en el mismo punto. Al cuantizar la teoría se obtienen términos extra en el hamiltoniano cuántico debidos a esta interacción, no cuadráticos a su vez, como por ejemplo:

${\mathcal {H}}_{\textrm {int}}(\mathbf {r} )=g\underbrace {\varphi (\mathbf {r} ){\bar {\Psi }}(\mathbf {r} )\Psi (\mathbf {r} )} _{\textrm {3\ campos(Yukawa)}}+\overbrace {\lambda \phi (\mathbf {r} )^{4}} ^{\textrm {4\ campos(Higgs)}}+e\underbrace {A_{\mu }(\mathbf {r} ){\bar {\psi }}(\mathbf {r} )\gamma ^{\mu }\psi (\mathbf {r} )} _{\textrm {3\ campos(QED)}}+\ldots$

Un aspecto importante sobre los campos interactuantes es que el número de partículas en general no se mantiene constante. La relación de este hecho con los términos no cuadráticos es clara: necesariamente contienen productos de operadores destrucción y creación en un número descompensado. ​ Para el cálculo de observables, cómo probabilidades de scattering en un experimento de física de partículas, no se conoce como tratar estos términos de forma exacta y se trabaja con ellos de manera perturbativa (Ver más abajo).

La gran mayoría de las teorías con interés para la física incluyen términos de interacción. La ecuación anterior para ${\mathcal {H}}_{\textrm {int}}$ proporciona diversos ejemplos:

• La interacción de Yukawa describe las fuerzas entre nucleones (neutrones y protones, campo $\Psi$) mediadas por mesones (piones de hecho, campo $\phi$). La interacción es proporcional a $\phi \Psi ^{2}$ ($\varphi {\bar {\Psi }}\Psi$ para ser exactos).
• El campo de Higgs es un hipotético mediador entre todas las partículas elementales en el Modelo estándar. Viene representado por $\displaystyle \phi$ y un bosón de spin 0 asociado. Los propios bosones de Higgs interactúan entre sí, con un término dado por $\displaystyle \phi ^{4}$.
• La electrodinámica cuántica es el la teoría cuántica que describe la interacción entre radiación (fotones, campo $A_{\mu }$) y fermiones cargados (como electrones o quarks, descritos por un campo espinorial $\psi$). El término de interacción es del tipo $A\psi ^{2}$ ($A_{\mu }{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi$ más exactamente).

Enfoques axiomáticos

Las descripción anterior refleja el enfoque que la mayoría de físicos usan para describir la teoría cuántica de campos. Sin embargo este enfoque dista de ser matemáticamente riguroso y presenta diversos problemas formales. Desde la segunda mitad del siglo XX ha habido muchos intentos de caracterizar la teoría cuántica de campos en términos matemáticamente formales, resumiendo sus características en una serie de axiomas.

El primer tipo de enfoques axiomáticos, desarrollados en los años 50, incluyen sistemas de axiomas debidos a Wightman, Osterwalder-Schrader y Haag-Kastler. En estos sistemas es posible probar como teoremas la conservación de la simetría CPT o el teorema spin-estadística. Sin embargo, más allá de modelos con una dinámica trivial (teorías sin interacción, en 2 dimensiones, etc.) estas construcciones no se han visto realizadas.

Un segundo tipo de enfoques axiomáticos surgió durante los años 1980, y estaban basadas en conceptos geométricos. Esta línea de investigación, llamada teoría cuántica de campos topológica, se asocia principalmente con los trabajos de Michael Atiyah y Graeme Segal, y fue ampliada notablemente por Edward Witten, Richard Borcherds y Maxim Kontsevich. Sin embargo, la mayoría de los modelos físicamente relevantes de teorías cuánticas de campos, tales como el Modelo estándar, no son teorías cuánticas de campos de tipo topológico. Un ejemplo que sí cae en esta categoría es la que describe del efecto Hall cuántico fraccionario.

Describir una teoría cuántica de campos de relevancia en física mediante una axiomática y demostrar la existencia de dicha estructura es un problema central de la física matemática. De hecho, el caso de una teoría de Yang-Mills es el enunciado de uno de los problemas del milenio.

Aspectos clave

Lagrangianos y simetrías

Los sistemas clásicos se especifican mediante un lagrangiano dentro del formalismo de la mecánica analítica: una función de las coordenadas que describen el sistema, y sus velocidades asociadas. Con esta función pueden obtenerse las ecuaciones de movimiento del sistema. Para una teoría de campos clásica, se procede de igual modo, mediante el uso de densidades lagrangianas.

El formalismo lagrangiano está íntimamente ligado con el formalismo hamiltoniano, un enfoque similar para describir el sistema, que además permite llevar a cabo la cuantización del sistema clásico. A excepción de las teorías de campos, es este último el que se utiliza al cuantizar un sistema clásico.

Sin embargo, el enfoque lagrangiano es el preferido al tratar las teorías clásicas de campos. Por un lado, los sistemas clásicos de campos no son sencillos de tratar mediante hamiltonianos (a diferencia de la mayoría de los sistemas más sencillos). Usualmente, los grados de libertad de un campo clásico no son fáciles de aislar en la manera en la que lo requiere el formalismo hamiltoniano.

Otra razón importante es que las simetrías del sistema no son fáciles de visualizar en un hamiltoniano, mientras que para un lagrangiano es muy sencillo deducir que transformaciones lo dejan invariante. Además, el teorema de Noether permite extraer del lagrangiano cantidades conservadas a partir de un grupo de simetrías continuo, las cuales determinan las leyes de conservación del sistema.

Diagramas de Feynman

Calcular las probabilidades en un experimento de scattering requiere un desarrollo perturbativo en términos la interacción cuántica, que involucra productos de múltiples operadores campo. De forma general, dado un hamiltoniano de interacción ${\hat {H}}_{\textrm {int}}=g\int d^{3}\mathbf {r} {\hat {\mathcal {H}}}_{\textrm {int}}(\mathbf {r} )$, la amplitud de probabilidad está dada por un valor esperado del tipo:

$M_{\textrm {experimento}}=\langle g{\hat {\mathcal {H}}}_{\textrm {int}}+{\frac {g^{2}}{2}}{\hat {\mathcal {H}}}_{\textrm {int}}^{2}+\ldots \rangle$

donde el valor esperado se toma entre los estados inicial y final: $\langle \ldots \rangle =\langle f|\ldots |i\rangle$. Este desarrollo en potencias de la constante de acoplo $g$ funciona en principio siempre ésta sea lo suficientemente pequeña.

La técnica de diagramas de Feynman, desarrollada por Richard Feynman, permite realizar estos cálculos de manera sencilla, mediante un método muy eficaz que consiste en sumar combinaciones de diagramas. Estos representan todos los procesos cuánticos subyacentes posibles en el experimento: la creación y aniquilación de un número cualquiera de partículas virtuales.

Por ejemplo, en el estudio de la dispersión Compton, la amplitud cuántica viene dada por la expresión algebraica:

$M_{e\gamma \to e\gamma }=\langle {\frac {e^{2}}{2}}{\hat {J}}^{\mu }(x){\hat {A}}_{\mu }(x){\hat {J}}^{\nu }(y){\hat {A}}_{\nu }(y)+{\frac {e^{4}}{4!}}{\hat {J}}^{\mu }(x){\hat {A}}_{\mu }(x){\hat {J}}^{\nu }(y){\hat {A}}_{\nu }(y){\hat {J}}^{\rho }(z){\hat {A}}_{\rho }(z){\hat {J}}^{\sigma }(w){\hat {A}}_{\sigma }(w)+\ldots \rangle$

donde $J^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi$ es el operador corriente eléctrica. Esta expresión requiere arduos cálculos algebraicos antes de poder reducirla a una forma sencilla. Los diagramas de Feynman funcionan como un conjunto de reglas combinatorias que proporcionan una expresión más simplificada (aunque no del todo). La amplitud anterior, por ejemplo, equivale a:

Las líneas curvadas son fotones y las líneas rectas, electrones. La propagación de partículas se representa por líneas internas en los diagramas, y la destrucción y aniquilación simultáneas de partículas en un punto dado, por vértices. Los diagramas de Feynman no son sólo una técnica de cálculo, sino que su interpretación como la colección de los "procesos virtuales" subyacentes a un experimento dado resulta muy útil.

Renormalización

La presencia de una carga eléctrica polariza el vacío: los pares virtuales partícula-antipartícula apantallan la carga original. Dicha carga desnuda es divergente a su vez. Sin embargo la carga que es medida experimentalmente es finita, porque resulta de sustraer ambos efectos infinitos.

Ya en las aplicaciones tempranas de la teoría cuántica de campos, se constató que el cálculo de ciertas cantidades utilizando este formalismo arrojaba un valor infinito. Esto se consideraba una respuesta sin sentido que muestra alguna limitación esencial de la teoría en cuestión. En particular, este desagradable resultado aparece casi siempre si se pretende aumentar la precisión de un cálculo cualquiera, más allá del orden más bajo de aproximación en la serie perturbativa.

Esto no invalida el esquema de la teoría cuántica de campos. El proceso de la renormalización es un método que se desarrolló para separar estas divergencias de las cantidades finitas susceptibles de medirse experimentalmente. La resolución del problema pasa por reconocer que los cálculos perturbativos implican extrapolar la teoría a distancias arbitrariamente cortas (o equivalentemente, a energías arbitrariamente altas), de ahí el nombre de divergencias ultravioletas. Al identificar esta extrapolación como la fuente del resultado infinito, puede examinarse qué porción de este resultado corresponde verdaderamente a la cantidad física, cuyo valor ha de ser finito.

Teorías gauge

En el electromagnetismo clásico, el campo electromagnético se describe utilizando grados de libertad redundantes: dado $A_{\mu }$, el campo $A_{\mu }+\partial _{\mu }\chi$ corresponde al mismo estado físico del sistema, siendo $\chi (t,\mathbf {r} )$ una función cualquiera. Esto es debido a que la intensidad de campo $F_{\mu \nu }$ no se ve afectada por esta transformación, denominada transformación gauge. Al intentar cuantizar el campo electromagnético, estos grados de libertad redundantes aparecen como estados no físicos para el fotón, que sólo puede tener dos polarizaciones.

También la teoría clásica de un campo espinorial que sigue la ecuación de Dirac posee grados de libertad redundantes: la fase del campo. Las soluciones dadas por $\displaystyle e^{i\alpha }\psi$ corresponden al mismo estado físico, sin importar el valor de $\alpha$. Esta transformación es global: $\alpha$ es una constante igual en todos los puntos del espacio-tiempo.

Precisamente, al acoplar ambas teorías, esos grados de libertad adicionales y no físicos pueden eliminarse mutuamente, permitiendo que que la fase $\alpha$ varíe en cada punto del espacio-tiempo, e identificándola con la función $\chi$ que transforma al campo electromagnético. De este modo se obtiene, una vez cuantizada, la electrodinámica cuántica, el primer ejemplo de una teoría gauge, donde la fase $\alpha$ juega el papel del grupo de simetría gauge U(1).​ Este método asegura que los grados de libertad redundantes del campo electromagnético desaparezcan de la teoría cuántica de forma consistente.

La generalización de este ejemplo es directa, sin más que considerar un grupo de simetría gauge cualquiera. Dado un conjunto de fermiones $\psi _{i}$ con grados de libertad redundantes, representados en un grupo de simetría, puede añadirse un campo $A_{\mu }^{a}$ que compense el efecto de permitir que las transformaciones del grupo se vuelvan locales (diferentes en cada punto del espacio-tiempo). De este modo se obtiene una teoría que describe un conjunto de bosones intermediarios (generalizando al fotón), que actúan como portadores de la interacción entre los fermiones, que adquieren una cierta carga que los acopla a los bosones.

Las teorías gauge han resultado ser muy exitosas en la formulación del modelo estándar de las partículas fundamentales, que no es más que una teoría gauge basada en tres grupos de simetría.

Aplicaciones

Física de altas energías

El quark top es la última partícula del Modelo estándar descubierta hasta la fecha (en Tevatrón en 1995).

En el ámbito de la física de altas energías se estudian los componentes elementales de la materia y sus interacciones. Para ello es necesario utilizar una gran cantidad de energía en relación al número de partículas involucradas, para poder descomponer la materia. En este régimen, es inevitable el uso de una teoría cuántica de campos para dar cuenta de la cinemática relativista de las partículas. Como se menciona arriba, tanto la creación y destrucción de partículas como la diferencia en la relación energía-momento hacen necesario este formalismo.

En la actualidad, la teoría denominada Modelo estándar recoge todos los fenómenos conocidos a escala subatómica, clasificando todos los componentes de la materia en tres familias de fermiones de spin 1/2 (quarks y leptones), y sus interacciones como el resultado del intercambio de bosones gauge de spin 1. Esta teoría es una teoría cuántica de campos; una teoría gauge más concretamente, que explica todas las interacciones como el resultado de la simetría gauge $SU(3)_{c}\times SU(2)_{W}\times U(1)_{Y}$. Además, la masa de todas las partículas se explica como el resultado de su interacción con un campo escalar llamado campo de Higgs, del cual aún no hay evidencia experimental.

Física de la materia condensada

Uno de los mejores ejemplos para entender la teoría cuántica de campos pertenece al campo de la física del estado sólido, y es la descripción de las oscilaciones de los átomos en un sólido como pseudopartículas llamadas fonones.​ En física de la materia condensada existen muchos sistemas que se analizan términos similares, aprovechando la comodidad de las técnicas de many body, aun cuando la creación y destrucción de partículas no necesariamente se dé en realidad.

Unos pocos ejemplos son la teoría BCS de la superconductividad, el efecto Hall cuántico, el ferromagnetismo y antiferromagnetismo, etc.​ Todos los rasgos de la teoría que hemos descrito aparecen entre estos modelos: ruptura espontánea de simetría, invariancia gauge, modelos sigma no-lineales, anomalías, etc. De hecho, es remarcable que algunas de estas características esenciales de la teoría cuántica de campos se plantearon en el contexto de física de la materia condensada.

Así, el concepto de ruptura espontánea de simetría fue desarrollado para explicar la superconductividad antes de ser adaptado al bosón de Higgs. De igual modo, la técnica de grupo de renormalización, donde se examina el cambio en los parámetros de una teoría dependiendo de la escala a la que se la examine, aparece de manera natural en materia condensada, como por ejemplo al analizar el modelo de Ising.

Véase también

• Segunda cuantización
• Teoría cuántica de campos en espacio-tiempo curvo
• Teoría de campo de gauge
• Topología cuántica

Referencias

Bibliografía

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Enlaces externos

• Fields por Warren Siegel (Gratis pero enorme: 800 pp.)