Matriz antisimétrica

Una matriz de nxm elementos:

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&.&.&.&a_{1m}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&.&.&.&a_{2m}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&.&.&.&a_{3m}\\.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.\\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&.&.&.&a_{nm}\\\end{pmatrix}}$

es antisimétrica (o hemisimétrica), si es una matriz cuadrada (m = n) y $a_{ji}=-a_{ij}$ para todo i, j =1,2,3,...,n. En consecuencia, $a_{ii}=0$ para todo i. Por lo tanto, la matriz A asume la forma:

$A={\begin{pmatrix}0&a_{12}&a_{13}&.&.&.&a_{1n}\\-a_{12}&0&a_{23}&.&.&.&a_{2n}\\-a_{13}&-a_{23}&0&.&.&.&a_{3n}\\.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.\\-a_{1n}&-a_{2n}&-a_{3n}&.&.&.&0\\\end{pmatrix}}$

EJEMPLO:

$A={\begin{pmatrix}{0}&{-2}&{4}\\{2}&{0}&{2}\\{-4}&{-2}&{0}\\\end{pmatrix}}$ = > $-A={\begin{pmatrix}{0}&{2}&{-4}\\{-2}&{0}&{-2}\\{4}&{2}&{0}\\\end{pmatrix}}$

La diagonal principal se conserva y todos los otros números son cambiados de signo al inverso.

Nótese que la matriz traspuesta de la matriz antisimetrica A es -A, y que la antisimetría es respecto a la diagonal principal.

Si n=m es impar el determinante de la matriz siempre sera 0.