Función de densidad de probabilidad

Función de densidad de probabilidad para la distribución normal.

En teoría de la probabilidad, la función de densidad de probabilidad, función de densidad, o, simplemente, densidad de una variable aleatoria continua es una función, usualmente denominada f(x) que describe la densidad de la probabilidad en cada punto del espacio de tal manera que la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor dentro de un determinado conjunto sea la integral de la función de densidad sobre dicho conjunto.

Definición

La definición formal de la función de densidad requiere de conceptos de la teoría de la medida. Si una variable aleatoria X sigue una función de probabilidad X_*P su densidad con respecto a una medida de referencia μ es la derivada de Radon–Nikodym

$f={\frac {\mathrm {d} X_{*}\operatorname {P} }{\mathrm {d} \mu }}.$

Es decir, ƒ es una función con la propiedad de que

$\mathrm {P} [X\in A]=\int _{X^{-1}A}\,\mathrm {d} \operatorname {P} =\int _{A}f\,\mathrm {d} \mu$

para cada conjunto medible A.

Hay que advertir que la función de densidad no es propiamente única: dos funciones distintas pueden representar la misma distribución de probabilidad si son distintas únicamente en un conjunto de medida nula. Además, que puede haber distribuciones de probabilidad que carezcan de función de densidad: sucede cuando, sin ser discretas, concentran su probabilidad en conjuntos de medida nula; así sucede con la distribución de Cantor cuando se toma la de Lebesgue como medida de referencia.

Cuando, como ocurre normalmente en las aplicaciones, X es una variable aleatoria real y μ es la medida de Lebesgue, la función de densidad es una función tal que

$\operatorname {P} [a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x.$

De modo que si F es la función de distribución de X, entonces

$F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(u)\,\mathrm {d} u,$

y

$f(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}F(x).$

Intuitivamente, se puede pensar que ƒ(x) dx es la probabilidad de que X asuma valores en el intervalo infinitesimal [x, x + dx].

Propiedades

De las propiedades de la función de distribución se siguen las siguientes propiedades de la fdp (a veces visto como pdf del inglés):

• $f(x)\geq 0\;$ para toda $x$.
• El área total encerrada bajo la curva es igual a 1:

$\int _{-\infty }^{\infty }\,f(x)\,dx=1$

• La probabilidad de que $X$ tome un valor en el intervalo $[a,b]$ es el área bajo la curva de la función de densidad en ese intervalo o lo que es lo mismo, la integral definida en dicho intervalo. La gráfica f(x) se conoce a veces como curva de densidad.

$\Pr(a\leq X\leq b)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$

Algunas FDP están declaradas en rangos de $-\infty \;$ a $+\infty \;$, como la de la distribución normal.

Véase también

• Polinomio de Bernstein