Número decimal periódico

Un número periódico es un número racional caracterizado por tener un período (cifras que se repiten indefinidamente) en su representación decimal. Este período puede constar de una o varias cifras, como ${\tfrac {1}{3}}=0,{\boldsymbol {3}}\,333\dots$ o ${\tfrac {1}{7}}=0,{\boldsymbol {142857}}\,142857\dots$

El período se puede expresar escribiendo un arco encima de las cifras repetidas, por ejemplo ${\tfrac {2}{3}}=0,{\widehat {6}}$ o ${\tfrac {12}{11}}=1,{\widehat {09}}$.

Tipos de números periódicos

• Número periódico puro: Cuando inmediatamente después de la coma hay una o más cifras que se repiten.

• Número periódico mixto: Cuando después de la coma hay una o más cifras que no se repiten, seguidas por una o más cifras que sí se repiten. Ejemplo: ${\tfrac {12}{1100}}=0,01{\widehat {09}}$

Fracción correspondiente a un número periódico

Dado un número periódico en su representación decimal, es posible encontrar la fracción que lo produce (fracción generatriz). Ejemplo:

Error al representar (función desconocida «\begin{alignat}»): {\displaystyle \begin{alignat}2 x &= 0,333333\ldots\\ 10x &= 3,333333\ldots&\quad&\text{(multiplicando por 10 ambos miembros)}\\ 9x &= 3 &&\text{(restando 2da. menos 1ra.)}\\ x &= 3/9 = 1/3 &&\text{(simplificando)}\\ \end{alignat}}

Otro ejemplo:

${\begin{aligned}x&=0,836363636\ldots \\100x&=83,636363636\ldots \\99x&=82,8\\x&={\frac {82,8}{99}}={\frac {828}{990}}={\frac {18\times 46}{18\times 55}}={\frac {46}{55}}.\end{aligned}}$

El procedimiento anterior es general y permite enunciar las siguientes reglas:

• Número decimal periódico puro: La fracción de un número decimal periódico puro tiene:
  • numerador: la diferencia entre la parte anterior al período seguida del período (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos la parte anterior al período.
  • denominador: tantos $9$ como cifras tiene el período

Ejemplo: $5,34\ 34\dots ={\frac {534-5}{99}}={\frac {529}{99}}$

• Número decimal periódico mixto: La fracción de un número decimal periódico mixto tiene:
  • numerador: la diferencia entre la parte anterior al período seguida del período (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos la parte anterior al período.
  • denominador: tantos $9$ como cifras tiene el período, seguidos de tantos $0$ como cifras tiene la parte no periódica.

Ejemplo: $12,345\ 67\ 67\ 67\dots ={\frac {1234567-12345}{99000}}={\frac {1222222}{99000}}={\frac {611111}{49500}}$.

Dada una fracción irreducible (es decir, en la que numerador y denominador son primos entre sí, y por tanto no se puede simplificar más) es sencillo saber si corresponde a un número periódico puro, mixto, o es un decimal exacto, sin necesidad de hacer la división:

• Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos son sólo el 2 y/o el 5, será exacta.

Por ejemplo: ${\tfrac {7}{20}}$, como 20=2*2*5, será exacta; en efecto ${\tfrac {7}{20}}=0,35$

Otro ejemplo: ${\tfrac {7}{25}}$, como 25=5*5, será exacta; en efecto ${\tfrac {7}{25}}=0,28$

• Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos no contienen ni al 2 ni al 5, será periódica pura:

Por ejemplo ${\tfrac {5}{21}}$, como 21=3*7, será periódica pura; en efecto ${\tfrac {5}{21}}=0,238095\ 238095\ 238095\dots$

• Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos contienen al 2 y/o al 5, y además algún otro factor, será periodica mixta:

Por ejemplo ${\tfrac {5}{42}}$, como 42=2*3*7, será periodica mixta; en efecto ${\tfrac {5}{42}}=0,1\ 190476\ 190476\ 190476\dots$

Referencias

• Jimenez Hernández, José de Jesús. Matemáticas 1. Ediciones Umbral. p. 66. 

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