Aceleración

La aceleración es una magnitud vectorial que nos indica el ritmo o tasa de cambio de la velocidad de un móvil por unidad de tiempo. En otras palabras, cuánta rapidez adquiere un objeto durante el transcurso de su movimiento, según una cantidad definida de tiempo. Se representa normalmente por ${\vec {a}}$ o $\mathbf {a} \,$.

Sus dimensiones son [Longitud]/[Tiempo]². Su unidad en el sistema internacional es el m/s².

Introducción

En mecánica newtoniana, una partícula no puede seguir una trayectoria curva a menos que experimente una cierta aceleración, ya que si ésta no existiese su movimiento sería rectilíneo. Asimismo, cuando una partícula en movimiento rectilíneo cambia su velocidad implica la presencia de una aceleración (positiva si acelera, negativa si desacelera).

Algunos ejemplos del concepto de aceleración serían:

• La llamada aceleración de la gravedad en la Tierra es la aceleración que produce la fuerza gravitatoria terrestre; su valor en la superficie de la Tierra es, aproximadamente, de 9,8 m/s². Esto quiere decir que si se dejara caer libremente un objeto, aumentaría su velocidad de caída a razón de 9,8 m/s por cada segundo que pasara (siempre que omitamos la resistencia aerodinámica del aíre). El objeto caería, por tanto, cada vez más rápido, respondiendo dicha velocidad a la ecuación:

$v=at=gt=9,8\,t$

• Una maniobra de frenada de un vehículo, que se correspondería con una aceleración de signo negativo, o desaceleración, al oponerse a la velocidad que ya tenía el vehículo. Si el vehículo adquiriese más velocidad, a dicho efecto se le llamaría aceleración y, en este caso, sería de signo positivo.

Aceleración media e instantánea

Definición de la aceleración de una partícula en un movimiento cualquiera. Obsérvese que la aceleración no es tangente a la trayectoria.

En cada instante, o sea en cada punto de la trayectoria, queda definido un vector velocidad que, en general, cambia tanto en módulo como en dirección al pasar de un punto a otro de la trayectoria. La dirección de la velocidad cambiará debido a que la velocidad es tangente a la trayectoria y ésta, por lo general, no es rectilínea. En la Figura se representan los vectores velocidad correspondientes a los instantes t y t+Δt, cuando la partícula pasa por los puntos P y Q, respectivamente. El cambio vectorial en la velocidad de la partícula durante ese intervalo de tiempo está indicado por Δv, en el triángulo vectorial al pie de la Figura. Definimos la aceleración media de la partícula, en el intervalo de tiempo Δt, como el cociente:

$<\mathbf {a} >=\mathbf {\bar {a}} ={\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}$

que es un vector paralelo a Δv y dependerá de la duración del intervalo de tiempo Δt considerado. La aceleración instantánea la definiremos como el límite a que tiende el cociente incremental Δv/Δt cuando Δt→0; esto es, como la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo:

$\mathbf {a} =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}={\frac {dv}{dt}}$

Puesto que la velocidad instantánea v a su vez es la derivada del vector de posición r respecto al tiempo, la aceleración es la derivada segunda de dicho vector de posición con respecto del tiempo:

$\mathbf {a} ={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}$

De igual forma se puede definir la velocidad instantánea a partir de la aceleración como:

$\mathbf {v} =\int _{t_{0}}^{t}\left({\mathrm {d} v \over \mathrm {d} t}\right)\,\mathrm {d} t$

Podemos obtener la velocidad a partir de la aceleración mediante integración:

$\ v=\int _{0}^{t}\mathbf {a} dt$

Medición de la aceleración

La medida de la aceleración puede hacerse con un sistema de adquisición de datos y un simple acelerómetro. Los acelerómetros electrónicos son fabricados para medir la aceleración en una, dos o tres direcciones. Cuentan con dos elementos conductivos, separados por un material que varia su conductividad en función de las medidas, que a su vez serán relativas a la aceleración del conjunto.

Unidades

Las unidades de la aceleración son:

• Sistema Internacional

1 m/s²

• Sistema Cegesimal

1 cm/s² = 1 Gal

Componentes intrínsecas de la aceleración: aceleraciones tangencial y normal

Componentes intrínsecas de la aceleración.

En tanto que el vector velocidad v es tangente a la trayectoria, el vector aceleración a puede descomponerse en dos componentes (llamadas componentes intrínsecas) mutuamente perpendiculares: una componente tangencial a_t (en la dirección de la tangente a la trayectoria), llamada aceleración tangencial, y una componente normal a_n (en la dirección de la normal principal a la trayectoria), llamada aceleración normal o centrípeta (este último nombre en razón a que siempre está dirigida hacia el centro de curvatura).

Derivando la velocidad con respecto al tiempo, teniendo en cuenta que el vector tangente cambia de dirección al pasar de un punto a otro de la trayectoria (esto es, no es constante) obtenemos

$\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d}{dt}}(v\,\mathbf {\hat {e}} _{t})={\frac {dv}{dt}}\mathbf {\hat {e}} _{t}+v{\frac {d\mathbf {\hat {e}} _{t}}{dt}}=a_{t}\mathbf {\hat {e}} _{t}+v({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {\hat {e}} _{\text{t}})$

siendo $\mathbf {\hat {e}} _{t}$ el versor tangente a la trayectoria en el mismo sentido que la velocidad y ${\boldsymbol {\omega }}$ la velocidad angular. Resulta conveniente escribir la expresión anterior en la forma

$\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=a_{t}\mathbf {\hat {e}} _{t}+{\frac {v^{2}}{\rho }}\mathbf {\hat {e}} _{n}=a_{t}\mathbf {\hat {e}} _{t}+a_{n}\mathbf {\hat {e}} _{\text{n}}$

siendo

$\mathbf {\hat {e}} _{n}$ el versor normal a la trayectoria, esto es dirigido hacia el centro de curvatura de la misma,

$\rho \,$ el radio de curvatura de la trayectoria, esto es el radio de la circunferencia osculatriz a la trayectoria.

Las magnitudes de estas dos componentes de la aceleración son:

$a_{t}={\frac {dv}{dt}}\qquad \qquad \qquad a_{n}={\frac {v^{2}}{\rho }}$

Cada una de estas dos componentes de la aceleración tiene un significado físico bien definido. Cuando una partícula se mueve, su celeridad puede cambiar y este cambio lo mide la aceleración tangencial. Pero si la trayectoria es curva también cambia la dirección de la velocidad y este cambio lo mide la aceleración normal.

• Si en el movimiento curvilíneo la celeridad es constante (v=cte), la aceleración tangencial será nula, pero habrá una cierta aceleración normal, de modo que en un movimiento curvilíneo siempre habrá aceleración.

• Si el movimiento es circular, entonces el radio de curvatura es el radio R de la circunferencia y la aceleración normal se escribe como a_n = v²/R.

• Si la trayectoria es rectilínea, entonces el radio de curvatura es infinito (ρ→∞) de modo que a_n=0 (no hay cambio en la dirección de la velocidad) y la aceleración tangencial a_t será nula o no según que la celeridad sea o no constante.

Los versores que aparecen en las expresiones anteriores son los versores del triedro de Frênet que aparece en la geometría diferencial de curvas del siguiente modo:

$\mathbf {\hat {e}} _{t}$ es el versor tangente a la curva.

$\mathbf {\hat {e}} _{n}$ es el versor normal a la curva.

${\boldsymbol {\omega }}$ es el vector velocidad angular que es paralelo al versor binormal a la curva.

Movimiento circular uniforme

Cinemática del movimiento circular.

Un movimiento circular uniforme es aquél en el que la partícula recorre una trayectoria circular de radio R con celeridad constante, es decir, que la distancia recorrida en cada intervalo de tiempo igual es la misma. Para ese tipo de movimiento el vector de velocidad mantiene su módulo y va variando la dirección siguiendo una trayectoria circular. Si se aplican las fórmulas anteriores, se tiene que la aceleración tangencial es nula y la aceleración normal es constante: a esta aceleración normal se la llama "aceleración centrípeta". En este tipo de movimiento la aceleración se invierte en modificar la trayectoria del objeto y no en modificar su velocidad.

$\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {dv}{dt}}\mathbf {\hat {e}} _{t}+{\frac {v^{2}}{R}}\mathbf {\hat {e}} _{n}=0\cdot \mathbf {\hat {e}} _{t}+{\frac {v^{2}}{R}}{\hat {\mathbf {e} }}_{n}=\omega ^{2}R\ {\hat {\mathbf {e} }}_{n}$

Movimiento rectilíneo acelerado

En el movimiento rectilíneo acelerado, la aceleración instantánea es representada como la pendiente de la recta tangente a la curva que representa gráficamente la función v(t).

Si se aplican las fórmulas anteriores al movimiento rectilíneo, en el que sólo existe aceleración tangencial, al estar todos los vectores contenido en la trayectoria, podemos prescindir de la notación vectorial y escribir simplemente:

$a={\frac {dv}{dt}}$

Aceleración en mecánica relativista

El análogo de la aceleración en mecánica relativista se llama cuadriaceleración y es un cuadrivector cuyas tres componentes espaciales para pequeñas velocidades coinciden con las de la aceleración newtoniana (la componente temporal para pequeñas velocidades resulta proporcional a la potencia de la fuerza divida por la velocidad de la luz y la masa de la partícula).

En mecánica relativista la cuadrivelocidad y la cuadriaceleración son siempre ortogonales, eso se sigue de que la cuadrivelocidad tiene un (pseudo)módulo constante:

$\mathbf {U} \cdot \mathbf {U} =1\ \Rightarrow \ 2\mathbf {U} \cdot {\frac {d\mathbf {U} }{d\tau }}=0\ \Rightarrow \ 2\mathbf {U} \cdot \mathbf {A} =0$

Véase también

• Cinemática
• Velocidad
• Derivada
• Caída libre

Bibliografía

• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Physics for Scientists and Engineers (6th ed. edición). Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7. 
• Tipler, Paul (2004). Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (5th ed. edición). W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0809-4. 
• Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lecciones de Física (4 volúmenes). Monytex. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7. 
• Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Physics (en inglés). New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32057-9. 
• Tipler, Paul A. (2000). Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes). Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4382-3. 

Enlaces externos

• Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre aceleración.
• Vídeos explicativos sobre la aceleración en caída libre
• Chile Científico: Análisis del Movimiento Circular