Exponencial de una matriz

La exponencial de matrices es una función definida sobre las matrices cuadradas, parecida a la función exponencial. Sea $X$ una matriz $n$x$n$ de números reales o complejos. La exponencial de $X$ denotada por $e^{X}$ o $\exp(X)$ es la matriz $n$x$n$ dada por la serie de potencias

$e^{X}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {X^{k}}{k!}}.$

Esta serie converge para toda matriz $X$. Obsérvese que si la matriz $X$ es una matriz 1x1 la exponencial de $X$ corresponde con la exponencial ordinaria.

Propiedades

Sean $X$ e $Y$ dos matrices $n$x$n$, $a$ y $b$ dos números complejos cualesquiera. Denotemos con $I$ a la matriz identidad y con 0 la matriz nula. Entonces

1. Matriz identidad: $e^{0}=I\,$.
2. Linealidad: $\exp(a\,X)\exp(b\,X)=e^{(a+b)\,X}$.
3. $\exp(X)\,\exp(-X)=I$. Esta es consecuencia de las dos anteriores.
4. Matriz inversa: $(e^{A})^{-1}=e^{-A}\;$ consecuencia de la anterior.
5. Relación traza-determinante: $\det e^{X}=e^{trX}\,$.
6. $\exp {X^{\dagger }}=(\exp X)^{\dagger }$, donde $X^{\dagger }$ denota la transpuesta de la matriz $X$.
7. Preservación de la comuntación: Si $X\,Y=Y\,X$ entonces $e^{X}\,e^{Y}=e^{X+Y}=e^{Y}e^{X}$.
8. Si $Y\,$ es invertible entonces $e^{YXY^{-1}}=Y\,e^{X}\,Y^{-1}$.
9. Acotación de la norma: $\|e^{A}\|\leq e^{\|A\|}$

Se sigue que si $X$ es simétrica, entonces su exponencial también lo es. Si $X$ es antisimétrica su exponencial es ortogonal.

• $\exp(X^{*})=(\exp X)^{*}\,$ donde $X^{*}\,$ denota la conjugada transpuesta de $X$.

Se sique que si $X$ es hermítica entonces su exponencial también lo es. Si $X$ es antihermítica entonces su exponencial es unitaria.

Cálculo de la exponencial de matrices

Matrices diagonales y diagonalizables

Si una matriz $A$ es diagonal:

$A={\begin{bmatrix}a_{1}&0&\ldots &0\\0&a_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &a_{n}\end{bmatrix}},$

entonces su exponencial se obtiene tomando las exponenciales de cada uno de los elementos de la diagonal principal:

$e^{A}={\begin{bmatrix}e^{a_{1}}&0&\ldots &0\\0&e^{a_{2}}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &e^{a_{n}}\end{bmatrix}}.$

Una matriz $M\;$ es diagonalizable entonces:

$M=P^{-1}DP\;$

Donde $D\;$ es una matriz diagonal y es un matriz no singular $P\;$ puede elegirse como una matriz unitaria. La exponenciación de matrices diagonalizables puede reducirse al caso de la exponencial de una matriz diagonal, sin más que usar la propiedad 8 mencionada arriba tenemos:

$e^{M}=P^{-1}e^{D}P\;$

Matrices que admiten forma de Jordan

La exponencial de una matriz que tiene de bloque de Jordan es muy sencilla:

$B_{J}={\begin{bmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\0&0&\lambda &\cdots &0\\\vdots &&&\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &\lambda \end{bmatrix}}\Rightarrow \qquad e^{B_{J}}={\begin{bmatrix}e^{\lambda }&{\frac {e^{\lambda }}{1!}}&{\frac {e^{\lambda }}{2!}}&\cdots &{\frac {e^{\lambda }}{(n-1)!}}\\0&e^{\lambda }&{\frac {e^{\lambda }}{1!}}&\cdots &{\frac {e^{\lambda }}{(n-2)!}}\\0&0&e^{\lambda }&\cdots &{\frac {e^{\lambda }}{(n-3)!}}\\\vdots &&&\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &e^{\lambda }\end{bmatrix}}$

Se dice que una matriz $M\;$ admite forma canónica de Jordan $J\;$ cuando existe otra matriz no singular tal que:

$M=P^{-1}JP\;$

Siendo $J\;$ una matriz triangular formada por bloques de Jordan (es decir, cuya diagonal principal contiene los autovalores de $M\;$ y sólo la diagonal superior a la principal tiene algunos "1"). En ese caso la exponencial

$M=P^{-1}JP\to e^{M}=e^{P^{-1}JP}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(P^{-1}JP)^{k}}{k!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {P^{-1}(J)^{k}P}{k!}}=P^{-1}e^{J}P$

Aplicaciones

• Dado un sistema de sistema de ecuaciones diferenciales lineal con coeficientes constantes es un sistema de la forma:

${\begin{cases}{\dot {\mathbf {X} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {X} (t)+\mathbf {f} (t)\\\mathbf {X} (t_{0})=\mathbf {X} _{0}\end{cases}}$

Donde $\mathbf {X} (t)$ representa el vector de funciones incógnita. La solución de este sistema viene dada por la exponenciación de la matriz de coeficientes:

$\mathbf {X} (t)=e^{\mathbf {A} (t-t_{0})}\mathbf {X} _{0}+\int _{t_{0}}^{t}e^{\mathbf {A} (t-s)}\mathbf {f} (s)\ ds$

Véase también

• Exponenciación
• Logaritmo de una matriz