Sucesión de Cauchy

En matemáticas, una sucesión de Cauchy es una sucesión tal que la distancia entre dos términos se va reduciendo a medida que se avanza en la sucesión. Se llama así en honor al matemático francés Augustin Louis Cauchy (1805). El interés de las sucesiones de Cauchy radica en que en un espacio métrico completo todas las sucesiones de Cauchy son convergentes, siendo en general más fácil verificar que una sucesión es de Cauchy que obtener el punto de convergencia.

En Números Reales

Definición

Una sucesión

$x_{1},x_{2},x_{3},\ldots$

de números reales se dice que es de Cauchy, si para todo número real ε > 0 existe un entero positivo N tal que para todos los números naturales m,n > N

$||x_{m}-x_{n}||<\varepsilon ,$

donde las barras verticales denotan la norma (que en el caso particular del campo de los reales viene siendo el valor absoluto).

De igual forma, se pueden definir sucesiones de Cauchy de números complejos.

Propiedades

Las sucesiones de Cauchy de números reales tienen las siguientes propiedades:

1. Toda sucesión convergente es una sucesión de Cauchy.
2. Toda sucesión de Cauchy está acotada
3. Criterio de convergencia de Cauchy: Una sucesión de números reales es convergente si y sólo si es una sucesión de Cauchy. Es decir, el conjunto de los números reales es un espacio métrico completo.

Pueden verse demostraciones de las propiedades en Introducción al análisis matemático de una variable (Bartle, Sherbert, 2º edición, año 1996)

En un Espacio Métrico

Definición

En un Espacio Métrico (M,d), una sucesión

$x_{1},x_{2},x_{3},\ldots$

se dice de Cauchy si para todo número real ε > 0 existe un número natural N, tal que para todos m, n > N, la distancia

$d(x_{m},x_{n})<\varepsilon$

Esto implica que los elementos de la sucesión se van acercando uno con otro.

Propiedades

1. Toda sucesión convergente es una sucesión de Cauchy.
2. Toda sucesión de Cauchy está acotada

En $\mathbb {Q}$ las sucesiones de Cauchy no tienen porque ser convergentes.El ejemplo clásico es $a(n)=(1+1/n)^{n}$ que es de Cauchy pero cuyo limite (e) no es racional. Al parecer de lo trivial del ejemplo anterior donde la sucesión de Cauchy no convergía, en espacios más abstractos pero no por eso menos familiares, como los espacios de funciones, demostrar la completitud a veces no es tan trivial; una de las razones de esto es que la completitud no se preserva necesariamente con homeomorfismos como pasa con la conexidad y la compacidad.

Completitud

Un Espacio Métrico $(X,d)$ se dice que es completo si toda sucesión de Cauchy converge.

Ejemplos

• Los números reales son completos.