Diferencia entre revisiones de «Movimiento uniformemente acelerado»
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{{fusionar desde|Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado}} |
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En [[cinemática]], el '''movimiento uniformemente acelerado''' (m.u.a.) es aquel en el que la [[aceleración]] permanece constante (en magnitiud, dirección y sentido). |
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En [[física]], el '''movimiento uniformemente acelerado''' (MUA) es aquel movimiento donde la [[aceleración]] que se ejerce sobre un cuerpo es constante (en magnitiud y dirección) en todo el recorrido, es decir, la aceleración es constante. |
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El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es un caso particular de este tipo de movimiento, donde la aceleración y la velocidad inicial no son colineales, entonces la trayectoria no es rectilínea. |
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==Movimiento uniformemente acelerado en mecánica clásica== |
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== Ecuaciones del movimiento == |
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En [[mecánica clásica]] el movimiento de una partícula sometida a una fuerza constante resulta ser un movimiento uniformemente acelerado. En el caso más general la trayectoria de una partícula sometida a una fuerza constante resulta ser una [[parábola]]. Para analizar supongamos que una partícula con velocidad inicial sobre la que se aplica una fuerza constante. Supondremos [[sin pérdida de generalidad]] podemos suponer que el movimiento se da en el [[plano]] XY sujeto a las ecuaciones: |
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En este tipo de movimiento el vector [[aceleración]] permanece constante, esto es, <math>\mathbf a = \text{cte.}</math>, de modo que a partir de la definición del vector aceleración como derivada del vector [[velocidad]] con respecto al tiempo, |
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{{ecuación| |
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<math>\begin{cases} a_y = \cfrac{d^2y}{dt^2} = a_0 & a_x = \cfrac{d^2x}{dt^2} = 0\\ |
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{{Ecuación|<math> |
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\dot{y}(0) = v_y & \dot{x}(0) = v_x \\ x(0) = 0 & y(0) = 0 \end{cases} |
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\mathbf a = \frac{d \mathbf v}{dt} |
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</math> |
</math> |
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||left}} |
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Integrando las ecuaciones diferenciales anteriores se tienen las siguientes velocidades y desplazamientos: |
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se sigue |
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{{ecuación| |
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<math>\begin{cases} \dot{y}(t) = v_y + a_0t & \dot{x}(t) = v_x \\ |
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{{Ecuación|<math> |
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y(t) = v_y t + \cfrac{a_0t^2}{2} & x(t) = v_x t \end{cases}</math> |
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\int_{\mathbf v_0}^{\mathbf v} d \mathbf v = |
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||left}} |
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\int_{0}^{t} \mathbf a dt |
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Para encontrar la ecuación de la trayectoria se despeja el tiempo de la expresión para la coordenadas ''x''(''t'') y se substituye ''t''(''x'') para obtener ''y''(''t''(''x'')): |
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</math>|2}} |
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{{ecuación| |
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<math>y(x) = \frac{v_y}{v_x}x+\frac{a_0}{2v_x^2}x^2</math> |
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siendo <math>\mathbf v_0</math> la velocidad de la partícula en el instante inicial ''t''=0. Realizando la integración obtenemos |
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||left}} |
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{{Ecuación|<math> |
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\mathbf v - \mathbf v_0 = |
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\mathbf a t |
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</math>|3}} |
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y ordenando los términos |
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{{Ecuación|<math> |
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\mathbf v = |
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\mathbf v_0 + \mathbf a t |
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</math>|4}} |
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Procediendo a una nueva integración se obtiene el [[vector de posición]] |
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{{Ecuación|<math> |
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\int_{\mathbf r_0}^{\mathbf r} d \mathbf r = |
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\int_{0}^{t} \mathbf v dt |
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</math>|5}} |
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donde el vector <math>\mathbf r_0</math> representa, como en el caso anterior, el vector de posición de la partícula en el instante ''t''=0. Sustituyendo en esta expresión el vector velocidad anteriormente determinado, tenemos |
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{{Ecuación|<math> |
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\int_{\mathbf r_0}^{\mathbf r} d \mathbf r = |
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\int_{0}^{t} (\mathbf v_0 + \mathbf a t) dt |
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</math>|6}} |
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e integrando y ordenando términos |
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{{Ecuación|<math> |
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\mathbf r = |
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\mathbf r_0 + \mathbf v_0 t + \frac{1}{2} \mathbf a t^2 |
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</math>|7}} |
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De acuerdo con la ec. [5], la velocidad de la partícula se encuentra siempre en el plano definido por los vectores <math>\mathbf v_0</math> y <math>\mathbf a </math>. Del mismo modo, la etc. [7] nos indica que el vector <math>\mathbf r - \mathbf r_0</math> permanece siempre en ese mismo plano. Así, llegamos a la conclusión de que en el movimiento con aceleración constante la trayectoria de la partícula está situada en un plano ([[plano osculador]]), tal como se ilustra en la figura. |
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[[Archivo:Moglf0414 Movimiento con aceleración constante.jpg|thumb|200px|Movimiento uniformemente acelerado con trayectoria parabólica.]] |
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Se pueden presentar los siguientes casos: |
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* Si la velocidad inicial es nula, o sea <math>\mathbf v_0 =0</math>, la ec. [7] se reduce a |
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{{Ecuación|<math> |
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\mathbf r - \mathbf r_0 = |
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\frac{1}{2} \mathbf a t^2 |
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</math>|8}} |
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de modo que la trayectoria es rectilínea y el sentido del movimiento es el de la aceleración constante <math>\mathbf a</math>, ya que el vector desplazamiento <math>\mathbf r - \mathbf r_0 </math> tiene siempre la dirección del vector aceleración. Obviamente, se trata de un [[movimiento rectilíneo uniformemente acelerado]] |
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* Si los vectores <math>\mathbf v_0</math> y <math>\mathbf a</math>, tienen la misma dirección, entonces la trayectoria es rectilínea y el movimiento será [[Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado|rectilíneo uniformemente acelerado]] o retardado según que los sentidos de ambos vectores sean iguales u opuestos. |
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* En el caso general, <math>\mathbf v_0</math> y <math>\mathbf a</math> tendrán direcciones diferentes. Entonces, la ec. [7] representa una parábola situada en el plano definido por los |
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vectores <math>\mathbf v_0</math> y <math>\mathbf a</math> y que pasa por un punto del espacio cuyo vector de posición es <math>\mathbf v_0</math>. Uno de los problemas más interesantes en que se presenta esta situación es el movimiento de los proyectiles. |
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==Movimiento bajo fuerza constante en mecánica relativista== |
==Movimiento bajo fuerza constante en mecánica relativista== |
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En mecánica [[teoría de la relatividad|relativista]] no existe un equivalente exacto del movimiento uniformemente acelerado, ya que la aceleración depende de la velocidad y mantener una aceleración constante requeriría una fuerza progresivamente creciente. Lo más cercano que tenemos en teoría de la relatividad es el movimiento de una partícula bajo una fuerza constante, que comparte muchas de las características del MUA de la mecánica clásica. |
En mecánica [[teoría de la relatividad|relativista]] no existe un equivalente exacto del movimiento uniformemente acelerado, ya que la aceleración depende de la velocidad y mantener una aceleración constante requeriría una fuerza progresivamente creciente. Lo más cercano que tenemos en teoría de la relatividad es el movimiento de una partícula bajo una fuerza constante, que comparte muchas de las características del MUA de la mecánica clásica. |
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== Véase también == |
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* [[Cinemática]] |
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* [[Movimiento balístico]] |
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== Referencias == |
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{{listaref}} |
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== Bibliografía == |
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* {{cita libro|autor = Ortega, Manuel R.|título = Lecciones de Física (4 volúmenes)|año = 1989-2006|editorial = Monytex|id = ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7|idioma=español}} |
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* {{cita libro|autor = Resnick, Robert & Halliday, David |título = Física 4ª|año = 2004|editorial = CECSA, México|id = ISBN 970-24-0257-3|idioma = español}} |
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* {{cita libro|autor = Tipler, Paul A.|título = Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes)|año = 2000|editorial = Barcelona: Ed. Reverté|id = ISBN 84-291-4382-3|idioma=español}} |
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== Enlaces externos == |
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* [http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/ Curso Interactivo de Física en Internet.] Ángel Franco García. |
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[[Categoría:Física]] |
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[[Categoría:Mecánica]] |
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[[Categoría:Cinemática]] |
[[Categoría:Cinemática]] |
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Revisión del 16:57 12 jun 2010
En física, el movimiento uniformemente acelerado (MUA) es aquel movimiento donde la aceleración que se ejerce sobre un cuerpo es constante (en magnitiud y dirección) en todo el recorrido, es decir, la aceleración es constante. El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es un caso particular de este tipo de movimiento, donde la aceleración y la velocidad inicial no son colineales, entonces la trayectoria no es rectilínea.
Movimiento uniformemente acelerado en mecánica clásica
En mecánica clásica el movimiento de una partícula sometida a una fuerza constante resulta ser un movimiento uniformemente acelerado. En el caso más general la trayectoria de una partícula sometida a una fuerza constante resulta ser una parábola. Para analizar supongamos que una partícula con velocidad inicial sobre la que se aplica una fuerza constante. Supondremos sin pérdida de generalidad podemos suponer que el movimiento se da en el plano XY sujeto a las ecuaciones:
Integrando las ecuaciones diferenciales anteriores se tienen las siguientes velocidades y desplazamientos:
Para encontrar la ecuación de la trayectoria se despeja el tiempo de la expresión para la coordenadas x(t) y se substituye t(x) para obtener y(t(x)):
Movimiento bajo fuerza constante en mecánica relativista
En mecánica relativista no existe un equivalente exacto del movimiento uniformemente acelerado, ya que la aceleración depende de la velocidad y mantener una aceleración constante requeriría una fuerza progresivamente creciente. Lo más cercano que tenemos en teoría de la relatividad es el movimiento de una partícula bajo una fuerza constante, que comparte muchas de las características del MUA de la mecánica clásica.