Derivación (matemática)

Concepto matemático esencial para determinar los espacios tangentes sobre variedades diferenciables sus cualidades, propiedades y consecuencias.

Es una pieza fundamental, clave en el desarrollo de la teoría para la geometría diferencial tal y como está estructurada actualmente.

Definición de derivación

Sea M una variedad diferenciable, $p\in M$, llamaremos derivación en el punto p a ;

$\forall \delta _{p}:{\mathcal {P}}(M)\longrightarrow {}\mathbb {R}$ aplicación $\mathbb {R}$-lineal, es decir, que cumplen;

• $\delta _{p}(g+f)=\delta _{p}(g)+\delta _{p}(f),\forall f,g\in {\mathcal {P}}(M)$

• $\delta _{p}(\lambda f)=\lambda \delta _{p}(f),\forall g\in {\mathcal {P}}(M),\forall \lambda \in \mathbb {R}$

tal que $\delta _{p}(f\cdot g)=\delta _{p}(f)g_{|p}+f_{|p}\delta _{p}(g),\forall f,g\in {\mathcal {P}}(M)$.

Observación

$f_{|p}$ es equivalente a f(p).

Ejemplos de derivación

Sea $M=\mathbb {R} ^{n},p\in \mathbb {R}$, veamos que la aplicación siguiente es derivación:

${\begin{matrix}{\frac {\partial \cdot }{\partial x}}_{|p}&{{\mathcal {P}}(M)}&\longrightarrow {}&\mathbb {R} \\&{f}&\mapsto &{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}_{|p}\end{matrix}}$

Demostración:

Veamos primero que es $\mathbb {R}$-lineal, es decir, que $\forall f,g\in {\mathcal {P}}(M)y\forall \lambda \in \mathbb {R}$ vemos que:

• ${\frac {\partial (f+g)}{\partial x_{i}}}_{|p}={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}_{|p}+{\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}_{|p}$.

• ${\frac {\partial (\lambda g)}{\partial x_{i}}}_{|p}=\lambda {\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}_{|p}$.

Veamos finalmente que es una derivación:

${\frac {\partial (f\cdot g)}{\partial x_{i}}}_{|p}={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}_{|p}g_{|p}+f_{|p}{\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}_{|p}$.

Queda, así, demostrado que la derivada parcial es una derivación.

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Consecuencia: si f=1 entonces d_p(1)=0. Aplicando la última condición.

Bibliografía

• Carlos Currás Bosch, Geometria diferencial: varietats diferencialbles i varietats de Riemann, Ed:UB. 3002.