Número primo gemelo

Dos números primos (p, q) son números primos gemelos si están separados por una distancia de 2, es decir, si $q=p+2\,\!$.

Los primeros números primos gemelos son:

(3,  5),    (5,  7),    (11, 13),   (17, 19),   (29, 31),   (41, 43),
(59, 61),   (71,  73),  (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151),
(179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271),
(281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463),
(521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661),
(809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883). 

Todos los números primos, excepto el 2, son impares. Los únicos dos números primos consecutivos son el 2 y el 3. Surge la cuestión de encontrar dos números primos que sean impares consecutivos, es decir que se hallen a una distancia de 2. A éstos se los llama números primos gemelos. El primero en llamarlos así fue Paul Stäckel.

A partir del par (5, 7), el número intermedio es siempre múltiplo de 6, por ende de 2 y de 3.

No se sabe si existen infinitos números primos gemelos, aunque se cree ampliamente que sí. Éste es el contenido de la conjetura de los números primos gemelos. Una forma fuerte de la conjetura de los números primos gemelos, la conjetura de Hardy-Littlewood, postula una ley de distribución de los números primos gemelos similar al teorema de los números primos.

Se sabe que la suma de los inversos de todos los números primos gemelos converge (véase: constante de Brun). Esto contrasta con la suma de los inversos de todos los primos, que diverge.

Se ha demostrado que el par n, n + 2 es de números primos gemelos si y sólo si:

$4((n-1)!+1)\equiv -n{\pmod {n(n+2)}}$

Los números primos gemelos más grandes conocidos son el par 2003663613 · 2¹⁹⁵⁰⁰⁰ - 1 y 2003663613 · 2¹⁹⁵⁰⁰⁰ + 1, que tienen 58711 dígitos.​ Fueron descubiertos en 2007 por Vautier, McKibbon, Gribenko et al.

Anteriormente, el par 100314512544015 · 2¹⁷¹⁹⁶⁰ - 1 y 100314512544015 · 2¹⁷¹⁹⁶⁰ + 1, que tiene 51.780 dígitos​ y fue descubierto en el 2006 por los matemáticos húngaros: Zoltán Járai, Gabor Farkas, Timea Csajbok, Janos Kasza y Antal Járai.