Tensor métrico

En matemáticas, en geometría de Riemann, el tensor métrico es un tensor de rango 2 que se utiliza para definir conceptos métricos como distancia, ángulo y volumen en un espacio localmente euclídeo.

Definición

Una vez que se elige una base local, el tensor métrico aparece como una matriz, notada convencionalmente G (véase también métrica). La notación g_ij se utiliza convencionalmente para los componentes del tensor métrico (es decir los elementos de la matriz). Así el tensor métrico g se expresa fijada una base coordenada como:

$g=\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}\ dx^{i}\otimes dx^{j}\qquad \qquad G={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}&...&g_{1n}\\g_{21}&g_{22}&...&g_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\g_{n1}&g_{n2}&...&g_{nn}\end{pmatrix}}$

O más cómodamente usando el convenio de sumación de Einstein (que usaremos de aquí en adelante para el resto del artículo como):

$g=g_{ij}\ dx^{i}\otimes dx^{j}\,$

Longitud, ángulo y volumen

La longitud de un segmento de una curva dada parametrizada por $t\,$, desde $a\,$ hasta $b\,$, se define como:

$L=\int _{a}^{b}{\sqrt {g_{ij}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}}}\ dt$

El ángulo entre dos vectores U y V (o entre dos curvas cuyos vectores tangentes sean U y V ) se define como:

$\cos \theta ={\frac {g_{ij}U^{i}V^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}U^{i}U^{j}\right|\left|g_{ij}V^{i}V^{j}\right|}}}$

El n-volumen de una región R de una variedad de dimensión n viene dado por la integral extendida a dicha región de la n-forma de volumen:

$V_{R}=\int _{R}{\sqrt {|g|}}\ dx^{1}\land dx^{2}\land ...\land dx^{n}$

Para computar el tensor métrico de un conjunto de ecuaciones que relacionan el espacio con espacio cartesiano (g_ij = η_ij: vea delta de Kronecker para más detalles), compute el jacobiano del conjunto de ecuaciones, y multiplique el (producto exterior) transpuesto de ese jacobiano por el jacobiano.

$G=J^{T}J\,$

Ejemplos de métricas euclídeas

Espacio bidimensional

Dado un tensor métrico euclidiano en dos dimensiones, dado en coordenadas cartesianas:

$G={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

Puesto que $g_{11}\ =g_{22}\ =1$ y $g_{12}\ =g_{21}\ =0$, la longitud de una curva reduce a la fórmula familiar del cálculo (teorema de Pitágoras):

$L=\int _{a}^{b}{\sqrt {g_{ij}dx^{i}dx^{j}}}$

$L=\int _{a}^{b}{\sqrt {g_{11}dx^{1}dx^{1}+g_{22}dx^{2}dx^{2}}}$

$L=\int _{a}^{b}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}$

Coordenadas polares

Coordenadas polares: $(x^{1},x^{2})=(r,\phi )$

$G={\begin{bmatrix}1&0\\0&(x^{1})^{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&r^{2}\end{bmatrix}}$

$L=\int _{a}^{b}{\sqrt {g_{11}dx^{1}dx^{1}+g_{22}dx^{2}dx^{2}}}$

$L=\int _{a}^{b}{\sqrt {dr^{2}+r^{2}(d\phi )^{2}}}$

Coordenadas cilíndricas

Coordenadas cilíndricas: $(x^{1},x^{2},x^{3})=(r,\phi ,z)$

$G={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&(x^{1})^{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$

$L=\int _{a}^{b}{\sqrt {g_{11}dx^{1}dx^{1}+g_{22}dx^{2}dx^{2}+g_{33}dx^{3}dx^{3}}}$

$L=\int _{a}^{b}{\sqrt {(dr)^{2}+r^{2}(d\phi )^{2}+(dz)^{2}}}$

Coordenadas esféricas

Coordenadas esféricas: $(x^{1},x^{2},x^{3})=(r,\theta ,\phi )$

$G={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&(x^{1})^{2}&0\\0&0&(x^{1}\sin x^{2})^{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}$

$L=\int _{a}^{b}{\sqrt {g_{11}dx^{1}dx^{1}+g_{22}dx^{2}dx^{2}+g_{33}dx^{3}dx^{3}}}$

$L=\int _{a}^{b}{\sqrt {(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta (d\phi )^{2}}}$

Ejemplos de métricas no euclídeas

Todos los ejemplos anteriores están asociados a métricas euclídeas, caracterizadas por el hecho de que el tensor de curvatura se anula idénticamente en todos los puntos.

Métricas no euclídeas en geometría

Sobre una esfera de radio unidad, parametrizada por el ángulo polar y el ángulo azimutal (θ, φ) se suele considerar el tensor métrico inducido por la distancia euclídea del espacio tridimensional que contiene a la esfera:

$G={\begin{bmatrix}1&0\\0&\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}$

Puede probarse que mediante ninguna transformación posible de coordenadas el tensor métrico en esas coordendas será igual al tensor métrico del espacio euclídeo bidimensional, lo cual evidencia que ese tensor representa una geometría no-euclídea (además su curvatura escalar es precisamente 1).

Métricas no euclídeas en física

De acuerdo con la teoría de la relatividad general en presencia de materia, la geometría del espacio-tiempo no es plana, es decir, está caracterizada por un tensor de curvatura que no es idénticamente nulo en todos los puntos de la variedad. Este tensor de curvatura puede ser relacionado con tensor de energía-impulso que representa el contenido material del modelo de universo que se esté analizando. Algunos ejemplos de tensores métricos no euclídeos procedentes de la teoría relatividad general que se usan como modelos de universo son:

• Métrica de Schwarzschild, que representa la geometría del espacio-tiempo alrededor de un cuerpo de esférico aislado y estático (que no gira alrededor de sí mismo).
• Métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker, que se cree da una buena aproximación de la estructura del universo en expansión a grandes escalas.