Diferencia entre revisiones de «Función característica»

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== Definición ==
== Definición ==


Dada una variable aleatoria <math>X \,\!</math> su función característica, que se denota mediante <math>\varphi_X(t) \,\!</math> para <math>t \,\!</math> real, se define como
esto no tiene nada que ver con la funcion caracteristica
: <math>
\varphi_X\!:\mathbb{R}\to\mathbb{C}; \quad
\varphi_X(t) = \operatorname{E}\big[e^{itX}\big]
= \int_{-\infty}^\infty e^{itx} f_X(x)\,dx \qquad
</math>
notar que se hace uso de la [[función exponencial compleja]] y <math>\operatorname{E} </math> denota la [[esperanza matemática]]. Adicionalmente usando las propiedades de la función exponencial compleja, la función característica se puede reescribir en términos de una parte real y una imaginaria:

: <math>
\varphi_X(t) = \operatorname{E}[cos(tX)] + i\operatorname{E}[sen(tX)]
= \int_{-\infty}^\infty cos(tx) f_X(x)\,dx + i\int_{-\infty}^\infty sen(tx) f_X(x)\,dx
</math>


== Momentos ==
== Momentos ==

Revisión del 14:54 26 jun 2010

La función característica de una variable aleatoria o de su distribución de probabilidad es una función de variable real que toma valores complejos, que permite la aplicación de métodos analíticos (es decir, de análisis funcional) en el estudio de la probabilidad.

Definición

Dada una variable aleatoria su función característica, que se denota mediante para real, se define como

notar que se hace uso de la función exponencial compleja y denota la esperanza matemática. Adicionalmente usando las propiedades de la función exponencial compleja, la función característica se puede reescribir en términos de una parte real y una imaginaria:

Momentos

Cuando los momentos de una variable aleatoria existen, se pueden calcular mediante las derivadas de la función característica. Es así que se tiene


fórmula que se obtiene derivando formalmente a ambos lados de la definición y tomando , y derivando dos veces y sustituyendo resulta

.


Análogamente se relacionan momentos y derivadas de órdenes superiores.

Probabilidad y análisis funcional

En análisis funcional si se identifica la distribución de la variable aleatoria considerada con una medida positiva, la función característica se denomina transformada de Fourier de la medida correspondiente.

Historia

El método de las funciones características fue introducido en las probabilidades por Lyapunov en 1904 para la demostración del Teorema Central del Límite que hoy lleva su nombre. La versión definitiva de este teorema fue obtenida posteriormente por Lindeberg.

Función generatriz de momentos

Una función relacionada con la función característica es la función generatriz de momentos (función generadora de momentos), designada como se define mediante



Si bien esta función es más sencilla, no siempre existe, dado que la esperanza matemática que la define puede no existir, dependiendo de la distribución de la variable aletoria y del valor de .