Tangente

En matemáticas, la palabra tangente hace referencia a dos significados diferentes, pero etimológicamente relacionados: recta tangente y tangente de un ángulo.

• En geometría, una recta tangente es aquella que solo tiene un punto en común con una curva, es decir la toca en un solo punto, que se llama punto de tangencia. La recta tangente indica la pendiente de la curva en el punto de tangencia.
• En trigonometría, la tangente de un ángulo es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo: es el valor numérico resultante de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente a dicho ángulo.

Geometría

La tangente es la posición límite de la recta o el límite del cono métrico (M) (llamada cuerda de la curva), cuando A es un punto de C que se aproxima indefinidamente al punto M (A se desplaza sucesivamente por M₁, M₂, M₃, M₄ ...)

Si C representa una función f o bien h que representa la cotangente de A. (no es el caso en el gráfico precedente), entonces la recta (AM) tendrá como coeficiente director (o pendiente)

${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$, donde a es la abscisa de A y x la de M.

Por lo tanto, la pendiente de la tangente T_A será:

$\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

Es, por definición: f '(a), el número derivado de f en a.

La ecuación de la tangente es T_a: y = f '(a)·(x - a) + f(a)

La recta ortogonal a la tangente T_A que pasa por el punto (a, f(a)) se denomina recta normal y su pendiente, en un sistema de coordenadas cartesianas, viene dada por ${\frac {-1}{f'(a)}}$.

Su ecuación es : y = - (x - a)/f '(a) + f(a), siempre que f'(a) ≠ 0. Esta recta no interviene en el estudio general de las funciones pero sí en problemas geométricos relacionados con las secciones cónicas, como por ejemplo: para determinar el foco de una parábola.

Plano tangente

En geometría diferencial, espacio tangente es el conjunto asociado a cada punto de una variedad diferenciable formado por todos los vectores tangentes a dicho punto. Es un espacio vectorial de la misma dimensión que la dimensión de la variedad.

Hay varias formas de entender este concepto. Primero vamos a explicar utilizando la gráfica de al lado. Empecemos suponiendo que tenemos una curva $\scriptstyle \gamma$ en la variedad M que pasa por alguna posición elegida cualquiera: $\scriptstyle x\in M$. Es decir un mapeo $\scriptstyle \gamma \ :\ ]-\varepsilon ,\varepsilon [\to M$ diferenciable que satisface $\scriptstyle \gamma (0)=x$ y $\scriptstyle \gamma '(0)=v$. Resulta que el conjunto de todos estos vectores forman el espacio tangente $\scriptstyle T_{x}M$ de x en M.

Trigonometría

En trigonometría la tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el adyacente:

$\tan(\alpha )={\frac {a}{b}}$

siendo a el cateto opuesto, y b el cateto adyacente Equivale también al valor:

$\tan(\alpha )={\frac {\,\operatorname {sen} (\alpha )}{\,\cos(\alpha )}}$

Archivo:FunTriR001.svg

Gráfico de la función tangente.

Véase también

• Arcotangente
• Seno
• Coseno
• Sinusoide
• Trigonometría
• Función matemática

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W., Tangente en MathWorld.