Función lineal

En matemática, el término función lineal puede referirse a dos conceptos diferentes.

En el primero, correspondiente a la geometría y el álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado. Es decir, una función que se representa en el plano cartesiano como una línea recta.

Esta función se puede escribir como

$f(x)=mx+b\,$

donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Cuando cambiamos m modificamos la inclinación de la recta y cuando cambiamos b desplazamos la línea arriba o abajo.

En el segundo caso, en matemáticas más avanzadas, una función lineal es una función que es una aplicación lineal. Esto es, una aplicación entre dos espacios vectoriales que preserva la suma de vectores y la multiplicación por un escalar.

Una función lineal según la primera definición dada anteriormente representa una aplicación lineal si y sólo si b = 0. Así, algunos autores llaman función lineal a aquella de la forma $f(x)=mx$ mientras que llaman función afín a la que tiene la forma $f(x)=mx+b$ cuando b es distinto de cero..

Ejemplo

Una función lineal de una única variable independiente x suele escribirse en la forma siguiente

$y=mx+b\,$

que se conoce como ecuación de la recta en el plano xy.

En la figura se ven tres rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales siguientes:

$y=0,5{x}+1\,$

en esta recta el parámetro m= 1/2, esto es el crecimiento de la recta es 1/2, cuando aumentamos x en una unidad, y aumenta en 1/2 unidad, el valor de b es 1, luego la recta corta el eje y en el punto y= 1

La ecuación:

$y=0,5{x}-1\,$

tiene el valor de la pendiente m= 1/2, igual que en el caso anterior, por eso estas dos rectas son paralelas, como el valor de b= -1, esta recta corta el eje de las y en el punto y= -1.

La tercera ecuación, es:

$y=2{x}+1\,$

la pendiente de la recta, el parámetro m= 2, indica que cuando el valor de x aumenta en una unidad, el valor de y la hace en dos unidades, el corte con el eje y, lo tiene en y= 1, dado que el valor de b= 1.

En el caso de una recta el valor de m se corresponde al ángulo de inclinación de la recta con el eje de las x a través de la expresión:

$m=\tan \theta \,$

Geometría analítica de la recta en el plano

La Geometría analítica consiste en emplear operaciones de cálculo para resolver problemas de geometría, en un plano xy, podemos representar una recta y= mx + b, y determinar las valores de m y de b que cumplan determinadas condiciones, por ejemplo las de un problema de geometría, veamos algunos casos del empleo del cálculo analítico, aplicado a la geometría:

Rectas que pasan por un punto

Determinar las rectas del plano que pasan por el punto $(x_{0},y_{0})$.

La ecuación de la recta ha de ser, como ya se sabe:

$y=mx+b\,$

Y ha de pasar por el punto $(x_{0},y_{0})$, luego tendrá que cumplirse:

$y_{0}=mx_{0}+b\,$

Despejando b, tenemos esta ecuación:

$b=y_{0}-mx_{0}\,$

Sustituyendo b en la ecuación general de la recta:

$y=mx+(y_{0}-mx_{0})\,$

Ordenando términos:

$y=m(x-x_{0})+y_{0}\,$

Esta ecuación define un haz de rectas en el plano que pasa por el punto $(x_{0},y_{0})$, el valor de m es la pendiente de cada una de las rectas que forman parte del haz, m puede tomar un valor real cualesquiera.

Recta que pasa por dos puntos

Determinar la recta del plano que pasan por los puntos $(x_{1},y_{1})$ y $(x_{2},y_{2})$.

Como en el caso anterior, la ecuación de la recta es:

$y=mx+b\,$

Y ha de pasar por los puntos $(x_{1},y_{1})$ y $(x_{2},y_{2})$ luego tendrá que cumplirse:

$y_{1}=mx_{1}+b\,$

$y_{2}=mx_{2}+b\,$

que forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, las incógnitas son m y b, para resolver este sistema, cambiamos de signo a la segunda ecuación y sumando las dos ecuaciones:

$y_{1}-y_{2}=mx_{1}-mx_{2}\,$

agrupando términos:

$y_{1}-y_{2}=m(x_{1}-x_{2})\,$

despejando m:

$m={\cfrac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}\,$

este valor, m, es el de la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos: $(x_{1},y_{1})$ y $(x_{2},y_{2})$.

Despejando ahora el valor de b de una de las ecuaciones del sistema, por ejemplo de la primera, tenemos:

$b=y_{1}-mx_{1}\,$

y sustituyendo m, por su valor ya calculado;

$b=y_{1}-{\cfrac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}\;x_{1}\,$

Tenemos las dos incógnitas m y b despejadas, en función de las coordenadas de los dos puntos por los que tienen que pasar, la ecuación general de la recta, con los parámetros ya calculados es:

$y={\cfrac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}\;x+y_{1}-{\cfrac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}\;x_{1}\,$

ordenando términos:

$y={\cfrac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}\;(x-x_{1})+y_{1}\,$

Que es una recta en el plano que pasa por los puntos $(x_{1},y_{1})$ y $(x_{2},y_{2})$, como ya se ha dicho.

Una relación curiosa de la ecuación anterior es:

${\cfrac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}={\cfrac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}\;\,$

y que dice que la pendiente entre un punto cualesquiera $(x,y)$, de la recta que pasa por dos puntos, y el punto $(x_{1},y_{1})$, es la misma que la que hay entre los puntos $(x_{1},y_{1})$ y $(x_{2},y_{2})$ que definen la recta.

Rectas perpendiculares

Dada una recta:

$y=m_{1}x+b_{1}\,$

Se trata de determinar que rectas:

$y=mx+b\,$

son perpendiculares a la primera.

Sabiendo que:

$m_{1}=\tan(\alpha )\,$

Siendo $\alpha$ el ángulo que forma la recta con la horizontal, cualquier recta perpendicular a ella ha de formar un ángulo $(\alpha +90)$ con la horizontal, por trigonometría sabemos que:

$\tan(\alpha +90)={\frac {-1}{\tan(\alpha )}}$

y si la pendiente de la primera recta es:

$m_{1}=\tan(\alpha )\,$

la de la segunda debe de ser:

$m=\tan(\alpha +90)={\frac {-1}{m_{1}}}\,$

Esto es, dada una recta cualquiera:

$y=m_{1}x+b_{1}\,$

cualquier recta de la forma:

$y={\frac {-1}{m_{1}}}x+b\,$

Es perpendicular a la primera, para cualquier valor del parámetro b.

Es fácil percatarse que las ordenadas en el origen de las rectas, no intervienen para determinar las rectas perpendiculares, esto es porque la perpendicularidad es un problema de dirección, y los puntos por los que pasa la recta no influyen, si la primera recta la sustituimos por una paralela a ella, el problema no se altera en absoluto, y el resultado es un conjunto de rectas paralelas, definidas por la pendiente y no por el punto concreto por el que pasa.

Abuso del lenguaje: identificación con funciones afines

En el análisis matemático y en la geometría, se suele abusar del lenguaje y denominar función lineal de una variable real a una función matemática de la forma:

$f(x)=mx+b\,$

donde m y b son constantes. La denominación correcta de este tipo de funciones es función afín.

La razón de este abuso de lenguaje es, probablemente, el hecho de que toda función afín $f(x)=mx+b$ tiene una función lineal asociada $f(x)=mx$. De hecho, una ecuación de la forma $y=mx+b$ se denomina ecuación lineal. Toda función afín tiene orden de crecimiento lineal, y se comporta asintóticamente como su función lineal asociada.

Ecuación lineal en el espacio n-dimensional

Las funciones lineales de varias variables admiten también interpretaciones geométricas. Así una función lineal de dos variables de la forma

$f(x,y)=a_{1}x+a_{2}y\,$

representa un plano y una función

$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}\,$

representa una hipersuperficie plana de n-1 dimensiones y pasa por el origen de coordenadas en un espacio n-dimensional.

Véase también

• Funciones matemáticas
• Ecuación de primer grado
• Geometría analítica
• Pendiente de una recta

Referencias bibliográficas

• Larrauri Pacheco, Agustín (7 de 1998). Matemáticas, 2 ESO (1 edición). Larrauri Editorial, S.A. p. 304. ISBN 978-84-8142-033-3. 
• Larrauri Pacheco, Agustín (4 de 1997). Matemáticas, 3 ESO (1 edición). Larrauri Editorial, S.A. p. 360. ISBN 978-84-8142-023-4. 
• Larrauri Pacheco, Agustín (3 de 1997). Matemáticas, FP 1 (10 edición). Larrauri Editorial, S.A. p. 496. ISBN 978-84-85207-79-4. 
• Larrauri Pacheco, Agustín (8 de 1989). Ejercicios de matemáticas : FP 1 (1 edición). Larrauri Editorial, S.A. p. 480. ISBN 978-84-85207-81-7. 
• Álvarez Areces, Santiago; Fernández Flórez, Manuel (6 de 1990). Matemáticas, área formativa común, 1 FP, 1 grado (1 edición). Editorial Everest, S.A. p. 432. ISBN 978-84-241-7220-6. 
• Checa (2 de 1989). Matemáticas : 1 FP, 1 curso (1 edición). p. 286. ISBN 978-84-348-2667-0.