Fórmula de Stirling

La diferencia relativa entre (ln x!) y (x ln x - x) tiende a cero al crecer x.

En matemáticas, la fórmula de Stirling es una aproximación para factoriales grandes. Lleva el nombre en honor de James Stirling.

La aproximación se expresa como

$\ln n!\approx n\ln n-n\,$

para n suficientemente grande, donde ln es el logaritmo natural

Definición formal

La fórmula de Stirling está dada por:

$\lim _{n\rightarrow \infty }{n! \over {\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}=1$

que se reescribe frecuentemente como:

$n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$

más exactamente la fórmula es como sigue:

$n!={\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}{e}^{{1 \over 12n}-{1 \over 360n^{3}}+{1 \over 1260n^{5}}-{1 \over 1680n^{7}}+\cdots }$

donde el último termino del producto(la exponencial) tiende a 1 cuando n tiende a infinito.

La lista de los denominadores es: 12, 360, 1260, 1680, 1188, 360360, 156, 122400, 244188, 125400, 5796, 1506960, 300, ...

Desarrollando este último termino también se puede reescribir la fórmula como:

$n!={\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{1 \over 12n}+{1 \over 288n^{2}}-{139 \over 51840n^{3}}-{571 \over 2488320n^{4}}+\cdots \right).$

Una acotación de la fórmula es:

${\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}{e}^{\frac {1}{12n+1}}<n!<{\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}{e}^{\frac {1}{12n}}$

Por ejemplo:

$29!=8841761993739701954543616000000$

${e}^{\frac {1}{12\;29+1}}=1,002869438...$

${e}^{\frac {1}{12\;29}}=1,002877696...$

$29!={\sqrt {2\pi 29}}\;\left({\frac {29}{e}}\right)^{29}1,002877577...$

Usos

La fórmula resulta útil en diversas áreas como la mecánica estadística, donde aparecen ecuaciones que contienen factoriales del número de partículas. Puesto que en la materia ordinaria los sistemas macroscópicos típicos tienen en torno a $N\approx 10^{23}$ partículas la fórmula de Stirling resulta muy aproximada. Además la fórmula aproximante de Stirling es diferenciable lo cual permite el cálculo muy aproximado de máximos y mínimos en expresiones con factoriales.