Notación científica

La notación científica (o notación índice estándar) es una manera rápida de representar un número utilizando potencias de base diez. Esta notación se utiliza para poder expresar fácilmente números muy grandes o muy pequeños.

Los números se escriben como un producto:

$a\times 10^{n}\,$

siendo:

$a\,$ un número entero o decimal mayor o igual que 1 y menor que 10, que recibe el nombre de mantisa.

$n\,$ un número entero, que recibe el nombre de exponente u orden de magnitud.

La notación científica utiliza un sistema llamado coma flotante, o de punto flotante en países de habla inglesa y en algunos hispanohablantes.

Historia

El primer intento de representar números demasiados grandes fue emprendida por el matemático y filósofo griego Arquímedes, descrita en su obra El contador de Areia en el siglo III a. C. Ideó un sistema de representación numérica para estimar cuántos granos de arena existían en el universo. El número estimado por él era de 10⁶³ granos. Nótese la coincidencia del exponente con el número de casilleros del ajedrez sabiendo que para valores positivos, el exponente es n-1 donde n es el número de dígitos, siendo la última casilla la Nº 64 el exponente sería 63 (hay un antiguo cuento del tablero de ajedrez en que al último casillero le corresponde -2 elevado a la 63- granos).

A través de la notación científica fue concebido el modelo de representación de los números reales mediante coma flotante. Esa idea fue propuesta por Leonardo Torres Quevedo (1914), Konrad Zuse (1936) y George Robert Stibitz (1939).

Escritura

• 10⁰ = 1
• 10¹ = 10
• 10² = 100
• 10³ = 1 000
• 10⁴ = 10 000
• 10⁵ = 100 000
• 10⁶ = 1 000 000
• 10⁷ = 10 000 000
• 10⁸ = 100 000 000
• 10⁹ = 1 000 000 000
• 10¹⁰ = 10 000 000 000
• 10²⁰ = 100 000 000 000 000 000 000
• 10³⁰ = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

10 elevado a una potencia entera negativa –n es igual a 1/10ⁿ o, equivalentemente 0, (n–1 ceros) 1:

• 10^–1 = 1/10 = 0,1
• 10^–3 = 1/1 000 = 0,001
• 10^–9 = 1/1 000 000 000 = 0,000 000 001

Por tanto, un número como: 156 234 000 000 000 000 000 000 000 000 puede ser escrito como 1,56234×10²⁹,

y un número pequeño como 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 939 kg (masa de un electrón) puede ser escrito como 9.10939×10^–31kg.

Usos

Por ejemplo, la distancia a los confines observables del universo es 4,6×10²⁶ m y la masa de un protón es 1,67×10^-27kg. La mayoría de las calculadoras y muchos programas de computadora presentan resultados muy grandes y muy pequeños en notación científica; la base 10 se omite generalmente y se utiliza la letra E (mayúscula o minúscula) para indicar el exponente; por ejemplo: 1,56234E29. Nótese que esto no está relacionado con la base del logaritmo natural también denotado comúnmente con la letra e.

La notación científica es altamente útil para anotar cantidades físicas, pues pueden ser medidas solamente dentro de ciertos límites de error y al anotar sólo los dígitos significativos se da toda la información requerida de forma concisa.

Para expresar un número en notación científica debe expresarse en forma tal que contenga un dígito (el más significativo) en el lugar de las unidades, todos los demás dígitos irán entonces después del separador decimal multiplicado por la potencia de 10 que indique el exponente. Ejemplos: 238294360000 = 2,3829436E11 y 0,00031416 = 3,1416E-4.

Operaciones matemáticas con notación científica

Suma y resta

Siempre que las potencias de 10 sean las mismas, se debe sumar las mantisas, dejando la potencia de 10 con el mismo grado (en caso de que no tengan el mismo exponente, debe convertirse la mantisa multiplicándola o dividiéndola por 10 tantas veces como sea necesario para obtener el mismo exponente):

Ejemplo:

2×10⁵ + 3×10⁵ = 5×10⁵

3×10⁵ - 0.2×10⁵ = 2.8×10⁵

2×10⁴ + 3 ×10⁵ - 6 ×10³ = (tomamos el exponente 5 como referencia)

= 0,2 × 10⁵ + 3 × 10⁵ - 0,06 ×10⁵ = 3,14 ×10⁵

Multiplicación

Para multiplicar cantidades escritas en notación científica se multiplican las mantisas y se suman los exponentes.

Ejemplo:

(4×10¹²)×(2×10⁵) =8×10¹⁷

(4×10¹²)×(2×10^-7) =8×10⁵

División

Para dividir cantidades escritas en notación científica se dividen las mantisas y se restan los exponentes (el del numerador menos el del denominador).

Ejemplo:

(4×10¹²)/(2×10⁵) =2×10⁷

(4×10¹²)/(2×10^-7) =2×10¹⁹

Potenciación

Se eleva la mantisa a la potencia y se multiplican los exponentes.

Ejemplo: (3×10⁶)² = 9×10¹²

Radicación

Se debe extraer la raíz de la mantisa y se divide el exponente por el índice de la raíz.

Ejemplos:

${\sqrt {9\cdot 10^{26}}}=3\cdot 10^{13}$

${\sqrt[{3}]{27\cdot 10^{12}}}=3\cdot 10^{4}$

${\sqrt[{4}]{256\cdot 10^{64}}}=4\cdot 10^{16}$

Discrepancia de nomenclatura

A pesar que la notación científica pretende establecer pautas firmes sobre la referencia numérica en materia científica, se presentan discrepancias de lenguaje.

Por ejemplo en EE.UU. 10⁹ se denomina «billon» (billón, en español). Para los países de habla hispana y en la mayor parte de los países de Europa, 10⁹ es mil millones o millardo (del francés millard), en tanto que y el billón se representa 10¹². Llegamos a un caso práctico donde para los estadounidenses one billion dollars, para los hispanohablantes será un millardo de dólares (poco usado) o mil millones de dólares (más usado).

Otra particularidad del mundo hispano es que, aunque el prefijo miria significa 'diez mil' en el Sistema Métrico Decimal (ejemplo, Miriámetro), esto es, 10⁴ (10 000 unidades), se prefiere el uso de diez mil, reservándose el término miríada en el sentido de 'innumerables' o 'muy numerosos' (ejemplo, miriápodo).

Véase también

• Orden de magnitud
• Separador de millares
• Separador decimal

Enlaces externos

• Bureau International des Poids et Mesures - The International System of Mesures
• National Institute of Standards & Technology - Guide for the Use of the International System of Units (SI)
• IUPAP Commission Chairs C2. Symbols, Units, Nomenclature, Atomic Masses and Fundamental Constants