Proceso adaptado

En teoría de procesos estocásticos, un proceso adaptado (o proceso no anticipatorio) es un proceso en el que el conjunto de eventos posibles hasta un instante dado sólo depende de los eventos pasados y el proceso "no puede anticipar el futuro". Una interpretación informal de esto es que un proceso X es adaptado si y sólo si, para cada realiazación y todo tiempo t, el valor de X_t se conoce en el tiempo sólo t.​ El concepto de proceso adaptado es esencial, por ejemplo, en la definición de la integral de Itō que aparece como solución a la ecuación diferencial estocástica de Itō, que sólo tiene sentido si el integrando es un proceso adaptado.

Definición formal

Sea

• $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ un espacio de probabilidad;
• $I$ un conjunto totalmente ordenado de índices $\leq$ (frecuentemente, $I$ es $\mathbb {N}$, $\mathbb {N} _{0}$, $[0,T]$ o $[0,+\infty )$);
• ${\mathcal {F}}_{\cdot }=\left({\mathcal {F}}_{i}\right)_{i\in I}$ es una filtración de la σ-álgebra ${\mathcal {F}}$;
• $(S,\Sigma )$ es un espacio de medida, el espacio de estados;
• $X:I\times \Omega \to S$ es un proceso estocástico.

El proceso $X$ está adaptado a la filtración $\left({\mathcal {F}}_{i}\right)_{i\in I}$ si la variable aleatoria $X_{i}:\Omega \to S$ es una función medible de $({\mathcal {F}}_{i},\Sigma )$ para cada $i\in I$.​

Ejemplos

Considérese un proceso estocástico X : [0, T] × Ω → R, y la recta real R equipada con la σ-álgebra de Borel generada por los conjuntos abiertos de la topología usual de la recta real.

• Si se toma la filtración natural F_•^X, donde F_t^X es la σ-álgebra generada por las preimágenes X_s⁻¹(B) de los conjuntos borelianos B de R y tiempos 0 ≤ s ≤ t, entonces X es automáticamente un proceso F_•^X-adaptado. Intuitivamente, la filtración natural F_•^X contiene la "información completa" sobre el comportamiento de X hasta el instante  t.

• Esto ofrece un ejemplo sencillo de proceso no adaptado X : [0, 2] × Ω → R: se escoge F_t como la σ-álgebra trivial {∅, Ω} para tiempos 0 ≤ t < 1, y F_t = F_t^X para tiempos 1 ≤ t ≤ 2. Puesto que la única manera en que una función puede ser mesurable con respecto a la σ-álgebra trivial es que sea constante, cualquier proceso no constante en [0, 1] no puede ser F_•-adaptado. El carácter no constante de un proceso "usa información" de una σ-álgebra futura que cotniene más información F_t, 1 ≤ t ≤ 2.

Véase también

• Proceso predictible

Referencias

Bibliografía

• Nualart, D. (2006). The Malliavin calculus and related topics (Vol. 1995). Berlin: Springer.
• Protter, P. E. (2013). Stochastic integration and differential equations (Vol. 21). Springer.