Ecuaciones de Maxwell

Las cuatro ecuaciones de Maxwell describen todos los fenómenos electromagnéticos, aquí se muestra la inducción magnética por medio de una corriente eléctrica.

Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones que describen por completo los fenómenos electromagnéticos. La gran contribución de James Clerk Maxwell fue reunir en estas ecuaciones largos años de resultados experimentales, debidos a Coulomb, Gauss, Ampere, Faraday y otros, introduciendo los conceptos de campo y corriente de desplazamiento, y unificando los campos eléctricos y magnéticos en un solo concepto: el campo electromagnético.​

Desarrollo histórico de las ecuaciones de Maxwell

Retrato de Maxwell

Véase también: Electromagnetismo

Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones que aparecieron de manera separada en la publicación de 1861 On Physical Lines of Force por parte del científico James Clerk Maxwell. El trabajo en sí no era obra solo de Maxwell, en las ecuaciones notamos la ley de Faraday (ecuación 54 en su trabajo), la ecuación 56, div B = 0, de su autoría, la ley de Ampère con correcciones hechas por él (ecuación 112) y la ley de Gauss (ecuación 113). Éstas expresan respectivamente como el cambio de los campos magnéticos producen campos eléctricos, la ausencia experimental de monopolos magnéticos, cómo una corriente eléctrica y el cambio en los campos eléctricos producen campos magnéticos y cómo cargas eléctricas producen campos eléctricos. En el trabajo original de Maxwell se podían encontrar muchas otras ecuaciones pero se llegó a simplificarlas a estas cuatro.​

El aspecto más importante del trabajo de Maxwell en el electromagnetismo es el término que introdujo en la ley de Ampère; la derivada temporal de un campo eléctrico, conocido como corriente de desplazamiento. El trabajo que Maxwell publicó en 1865, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, modificaba la versión de la ley de Ampère con lo que se predecía la existencia de ondas electromagnéticas propagándose, dependiendo del medio material, a la velocidad de la luz en dicho medio. De esta forma Maxwell identificó la luz como una onda electromagnética, unificando así la óptica con el electromagnetismo.​

Exceptuando la modificación a la ley de Ampère, ninguna de las otras ecuaciones era original. Lo que hizo Maxwell fue reobtener dichas ecuaciones a partir de modelos mecánicos e hidrodinámicos usando su modelo de vórtices de líneas de fuerza de Faraday.

En 1884, Oliver Heaviside junto con Willard Gibbs agrupó estas ecuaciones y las reformuló en la notación vectorial actual. Sin embargo, es importante conocer que al hacer eso, Heaviside usó derivadas parciales temporales, diferentes a las derivadas totales usadas por Maxwell, en la ecuación (54). Ello provocó que se perdiera el término $vxB$ que aparecía en la ecuación posterior del trabajo de Maxwell (número 77). En la actualidad, este término se usa como complementario a estas ecuaciones y se conoce como fuerza de Lorentz.

La historia es aún confusa, debido a que el término ecuaciones de Maxwell se usa también para un conjunto de ocho ecuaciones en la publicación de Maxwell de 1865, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, y esta confusión se debe a que seis de las ocho ecuaciones son escritas como tres ecuaciones para cada eje de coordenadas, así se puede uno confundir al encontrar veinte ecuaciones con veinte incógnitas. Los dos tipos de ecuaciones son casi equivalentes, a pesar del término eliminado por Heaviside en las actuales cuatro ecuaciones.

Detalle de las ecuaciones

Ley de Gauss

Flujo eléctrico de una carga puntual en una superficie cerrada

La ley de Gauss explica la relación entre el flujo del campo eléctrico y una superficie cerrada. Se define como flujo eléctrico ($\ \psi$) a la cantidad de fluido eléctrico que atraviesa una superficie dada. Análogo al flujo de la mecánica de fluidos, éste fluido eléctrico no transporta ningún material, pero ayuda a analizar la cantidad de campo eléctrico (${\vec {E}}$) que pasa por una superficie.​ Matemáticamente se la expresa como:

$\psi =\oint _{S}{\vec {E}}_{(r)}\cdot d{\vec {s}}$

La ley dice que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente entre la carga (q) o la suma de las cargas que hay en el interior de la superficie y la permitividad eléctrica en el vacío ($\epsilon _{0}$), así:​​

$\oint _{S}{\vec {E}}\cdot d{\vec {S}}={\frac {q}{\epsilon _{0}}}$

La forma diferencial de la ley de Gauss es

${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

donde $\rho$ es la densidad de carga. Esta expresión es para una carga en el vacío, para casos generales se debe introducir una cantidad llamada densidad de flujo eléctrico (${\vec {D}}$) y nuestra expresión obtiene la forma:

${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}=\rho$

Ley de Gauss para el campo magnético

Las líneas de campo magnético comienzan y terminan en el mismo lugar, por lo que no existe un monopolo magnético

Experimentalmente se llegó al resultado de que los campos magnéticos, a diferencia de los eléctricos, no comienzan y terminan en cargas diferentes. Esta ley primordialmente indica que las líneas de los campos magnéticos deben ser cerradas. En otras palabras, se dice que sobre una superficie cerrada, sea cual sea ésta, no seremos capaces de encerrar una fuente o sumidero de campo, esto expresa la no existencia del monopolo magnético.​ Matemáticamente esto se expresa así:​

${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0$

donde ${\vec {B}}$ es la densidad de flujo magnético, también llamada inducción magnética.

Su forma integral equivalente:

$\oint _{S}{\vec {B}}\cdot d{\vec {S}}=0$

Como en la forma integral del campo eléctrico, esta ecuación sólo funciona si la integral está definida en una superficie cerrada.

Ley de Faraday

La ley de Faraday nos habla sobre la inducción electromagnética, la que origina una fuerza electromotriz en un campo magnético. Esta ley es muchas veces llamada como ley de Faraday-Lenz, debido a que Heinrich Lenz descubrió ésta inducción de manera separada a Faraday pero casi simultánea.​ Lo primero que se debe introducir es la fuerza electromotriz (${\mathcal {E}}$), si tenemos un campo magnético variable con el tiempo, una fuerza electromotriz es inducida en cualquier circuito eléctrico; y esta fuerza es igual a menos la derivada temporal del flujo magnético, así:​

${\mathcal {E}}=-{\frac {d\phi _{B}}{dt}}$,

como el campo magnético es dependiente de la posición tenemos que el flujo magnético es igual a:

$\phi _{B}=\int _{S}{\vec {B}}\cdot d{\vec {S}}$.

Además, el que exista fuerza electromotriz indica que existe un campo eléctrico que se representa como:

${\mathcal {E}}=\oint {\vec {E}}\cdot d{\vec {l}}$

con lo que finalmente se obtiene la expresión de la ley de Faraday:​

$\oint {\vec {E}}\cdot d{\vec {l}}=\int _{S}{\vec {B}}\cdot d{\vec {S}}$

Lo que indica que un campo magnético que depende del tiempo implica la existencia de un campo eléctrico, del que su circulación por un camino arbitrario cerrado es igual a menos la derivada temporal del flujo magnético en cualquier superficie limitada por el camino cerrado.

La forma diferencial de esta ecuación es:

${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$

Esta ecuación relaciona los campos eléctrico y magnético, pero tiene también muchas otras aplicaciones prácticas. Esta ecuación describe cómo los motores eléctricos y los generadores eléctricos funcionan. Más precisamente, demuestra que un voltaje puede ser generador variando el flujo magnético que atraviesa una superficie dada.

Ley de Ampère generalizada

Ampère formuló una relación para un campo magnético inmóvil y una corriente eléctrica que no varía en el tiempo. La ley de Ampère nos dice que la circulación en un campo magnético (${\vec {B}}$) a lo largo de una curva C es igual a la densidad de corriente (${\vec {j}}$) sobre la superficie encerrada en la curva C, matemáticamente así:​

$\oint _{C}{\vec {B}}\cdot d{\vec {s}}=\mu _{0}\int _{S}{\vec {j}}\cdot {\vec {n}}\cdot dS$

donde $\ \mu _{0}$ es la permeabilidad magnética en el vacío.

Pero cuando esta relación se la considera con campos que sí varían a través del tiempo llega a cálculos erróneos, como el de violar la conservación de la carga.​ Maxwell corrigió esta ecuación para lograr adaptarla a campos no estacionarios y posteriormente pudo ser comprobada experimentalmente. Maxwell reformuló esta ley así:​

$\oint _{C}{\vec {B}}\cdot d{\vec {s}}=\mu _{0}\int _{S}{\vec {j}}\cdot {\vec {n}}\cdot dS+\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {d}{dt}}\int _{S}{\vec {E}}\cdot {\vec {n}}\cdot dS$

En el caso específico estacionario esta relación corresponde a la ley de Ampère, además confirma que un campo eléctrico que varía con el tiempo produce un campo magnético y además es consecuente con el principio de conservación de la carga.​

En forma diferencial, ésta ecuación toma la forma:

${\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {j}}+\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$

En medios materiales

Para el caso de que las cargas estén en medios materiales, la permitividad eléctrica y la permeabilidad magnética nos ayudan a encontrar una relación entre los vectores intensidad e inducción así:​

${\vec {D}}=\varepsilon {\vec {E}}=\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}{\vec {E}}$

${\vec {B}}=\mu {\vec {H}}=\mu _{0}\mu _{r}{\vec {H}}$

Pero estos valores también dependen del medio material, por lo que se dice que un medio es lineal cuando la relación entre E/D y B/H es lineal. Si esta relación es lineal, matemáticamente se puede decir que $\varepsilon$ y $\mu$ están representadas por una matriz 3x3. Si un medio es isótropo es porque esta matriz ha podido ser diagonalizada y consecuentemente es equivalente a una función $\varepsilon (x,y,z)$; si en esta diagonal uno de los elementos es diferente al otro se dice que es un medio anisótropo. Estos elementos también son llamados constantes dieléctricas y, cuando estas constantes no dependen de su posición, el medio es homogéneo.​

El valor de $\varepsilon$ y $\mu$ en medios lineales no dependen de las intensidades del campo. Por otro lado, la permitividad y la permeabilidad son escalares cuando las cargas están en medios homogéneos e isótropos. Los medios heterogéneos e isótropos dependen de las coordenadas de cada punto por lo que los valores, escalares, van a depender de la posición. Los medios anisótropos son tensores.​ Finalmente, en el vacío tanto $\ \rho$ como ${\vec {j}}$ son cero porque suponemos que no hay fuentes.

En la siguiente tabla encontramos a las ecuaciones como se las formula en el vacío y en la forma mas general.​

En el vacío	Caso general
${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}=0$	${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}=\rho$
${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0$	${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0$
${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial {t}}}$	${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial {t}}}$
${\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial {E}}{\partial {t}}}$	${\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\vec {j}}+{\frac {\partial {D}}{\partial {t}}}$

Ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones de Maxwell como ahora las conocemos son las cuatro citadas anteriormente y a manera de resumen se pueden encontrar en la siguiente tabla:

Nombre	Forma diferencial	Forma integral
Ley de Gauss:	${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$	$\oint _{S}{\vec {E}}\cdot d{\vec {S}}={\frac {q}{\epsilon _{0}}}$
Ley de Gauss para el campo magnético:	${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0$	$\oint _{S}{\vec {B}}\cdot d{\vec {S}}=0$
Ley de Faraday:	${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$	$\oint {\vec {E}}\cdot d{\vec {l}}=\int _{S}{\vec {B}}\cdot d{\vec {S}}$
Ley de Ampère generalizada:	${\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {j}}+\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$	$\oint _{C}{\vec {B}}\cdot d{\vec {s}}=\mu _{0}\int _{S}{\vec {j}}\cdot {\vec {n}}\cdot dS+\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {d}{dt}}\int _{S}{\vec {E}}\cdot {\vec {n}}\cdot dS$

Estas cuatro ecuaciones junto con la fuerza de Lorentz son las que explican cualquier tipo de fenómeno electromagnético. Una fortaleza de las ecuaciones de Maxwell es que permanecen invariantes en cualquier sistema de unidades, salvo de pequeñas excepciones, y que son compatibles con la relatividad especial y general. Además Maxwell descubrió que esta cantidad c era simplemente la velocidad de la luz en el vacío, por lo que la luz es una forma de radiación electromagnética. Los valores aceptados actualmente para la velocidad de la luz, la permitividad y la permeabilidad magnética se resumen en la siguiente tabla:

Símbolo	Nombre	Valor numérico	Unidad de medida SI	Tipo
$c\$	Velocidad de la luz	$2.998\times 10^{8}$	metros por segundo	definido
$\ \epsilon _{0}$	Permitividad	$8.854\times 10^{-12}$	faradios por metro	derivado
$\ \mu _{0}\$	Permeabilidad magnética	$4\pi \times 10^{-7}$	henrios por metro	definido

Consecuencias físicas de las ecuaciones

Principio de conservación de la carga

Las ecuaciones de Maxwell, y en particular la ley de Gauss, llevan implícitas el principio de conservación de la carga. El principio afirma que la carga eléctrica no se crea ni se destruye, ni global ni localmente, y que si en una superficie cerrada está disminuyendo la carga contenida en su interior, debe haber un flujo de corriente neto hacia el exterior del sistema.

Esto podemos demostrarlo a partir de la primera ecuación, resolvemos así para el caso de un campo estacionario:​

$\oint _{S}{\vec {E}}\cdot d{\vec {s}}={\frac {q}{\epsilon _{0}}}$

${\frac {dq}{dt}}=\epsilon _{0}{\frac {d}{dt}}\oint _{S}{\vec {E}}\cdot {\vec {n}}\cdot dS$

$\oint _{S}{\vec {j}}\cdot {\vec {n}}\cdot dS+\epsilon _{0}{\frac {d}{dt}}\oint _{S}{\vec {E}}\cdot {\vec {n}}\cdot dS=0$

y finalmente $\oint _{S}{\vec {j}}\cdot {\vec {n}}\cdot dS=0$.

Lo que nos indica que en un campo estacionario, ni se crea ni se destruye la carga en ningún lugar del espacio.

Potencial escalar y potencial vector

Como consecuencia matemática de las ecuaciones de Maxwell y además con el objetivo de simplificar sus cálculos se han introducido los conceptos de potencial vector (${\vec {A}}$) y potencial escalar ($\ \Phi$). Este potencial vector no es único y no tiene significado físico claro pero se sabe que un elemento infinitesimal de corriente da lugar a una contribución $d{\vec {A}}$ paralela a la corriente.​ Este potencial se obtiene como consecuencia de la ley de Gauss para el flujo magnético, ya que se conoce que si la divergencia de un vector es cero, ese vector como consecuencia define a un rotacional, así:​

$\nabla \cdot {\vec {B}}={\vec {\nabla }}\cdot (\nabla \times {\vec {A}})=0$

${\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}$

A partir de este potencial vector y de la ley de Faraday puede definirse un potencial escalar así:​

${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial {t}}}$

${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}+{\frac {\partial {({\vec {\nabla }}\times {\vec {A}})}}{\partial {t}}}=0$

${\vec {\nabla }}\times ({\vec {E}}+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial {t}}})=0$

$-\nabla \Phi ={\vec {E}}+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial {t}}}$

${\vec {E}}=-\nabla \Phi -{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial {t}}}$

Hallamos que con la introducción de estas cantidades pueden las ecuaciones representarse en forma de estos dos potenciales, muy prácticos a la hora de realizar cálculos. Estos potenciales son importantes porque poseen una simetría gauge lo que nos da cierta libertad a la hora de escogerlos.​

Ecuaciones originales de Maxwell

En el capítulo III de A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, titulado "Ecuaciones generales del campo electromagnético", Maxwell formuló ocho ecuaciones que las nombró de la A a la H.​ Estas ecuaciones llegaron a ser conocidas como "las ecuaciones de Maxwell", pero ahora este epíteto lo reciben las ecuaciones que agrupó Heaviside. La versión de Heaviside de las ecuaciones de Maxwell realmente contiene solo una ecuación de las ocho originales, la ley de Gauss que en el conjunto de ocho sería la ecuación G. Además Heaviside fusionó la ecuación A de Maxwell de la corriente total con la ley circuital de Ampère que en el trabajo de Maxwell era la ecuación C. Esta fusión, que Maxwell por si mismo publicó en su trabajo On Physical Lines of Force de 1861 modifica la ley circuital de Ampère para incluir la corriente de desplazamiento de Maxwell.

Las ocho ecuaciones originales de Maxwell pueden ser escritas en forma vectorial así:

Denominación	Nombre	Ecuación
A	Ley de corrientes totales	${\vec {J}}_{tot}={\vec {J}}+{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}$
B	Definición de vector potencial magnético	$\mu {\vec {H}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}$
C	Ley circuital de Ampère	${\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\vec {J}}_{tot}$
D	Fuerza de Lorentz	${\vec {E}}=\mu {\vec {v}}\times {\vec {H}}-{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}-\nabla \phi$
E	Ecuación de electricidad elástica	${\vec {E}}={\frac {1}{\epsilon }}{\vec {D}}$
F	Ley de Ohm	${\vec {E}}={\frac {1}{\sigma }}{\vec {J}}$
G	Ley de Gauss	${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}=\rho$
H	Ecuación de continuidad de carga	${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {J}}=-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$

donde : ${\vec {H}}$ es el campo magnético (llamado por Maxwell como intensidad magnética), ${\vec {J}}$ es la densidad de corriente eléctrica y ${\vec {J}}_{tot}$ es la corriente total incluida la corriente de desplazamiento, ${\vec {D}}$ es el campo desplazamiento (desplazamiento eléctrico), $\ \rho$ es la densidad de carga libre (cantidad libre de electricidad), ${\vec {A}}$ es el vector potencial magnético (impulso magnético), ${\vec {E}}$ es el campo eléctrico (fuerza electromotriz (no confundir con la actual definición de fuerza electromotriz)), $\ \phi$ es el potencial eléctrico y $\ \sigma$ es la conductividad eléctrica (resistencia específica, ahora solo resistencia).

Maxwell no consideró a los medios materiales en general, esta formulación inicial usa la permitividad y la permeabilidad en medios lineales, isotrópicos y no dispersos, a pesar que también se las puede usar en medios anisotrópicos.

Maxwell incluyó el término $\mu {\vec {v}}\times {\vec {H}}$ en la expresión de la fuerza electromotriz de la ecuación D, que corresponde a la fuerza magnética por unidad de carga en un conductor que se mueve a una velocidad ${\vec {v}}$. Esto significa que la ecuación D es otra formulación de la fuerza de Lorentz. Esta ecuación primero apareció como la ecuación 77 de la publicación On Physical Lines of Force de Maxwell, anterior a la publicación de Lorentz. En la actualidad esta fuerza de Lorentz no forma parte de las ecuaciones de Maxwell pero se la considera una ecuación adicional fundamental en el electromagnetismo.

Expresión de las ecuaciones en relatividad

En la relatividad especial, las ecuaciones de Maxwell en el vacío se escriben mediante unas relaciones geométricas, las cuales toman la misma forma en cualquier sistema de referencia inercial. Éstas están escritas en términos de cuadrivectores y tensores covariantes, que son objetos geométricos definidos en M⁴. Estos objetos se relacionan mediante formas diferenciales en relaciones geométricas que al expresarlas en componentes de los sistemas coordenados Lorentz proporcionan las ecuaciones para el campo electromagnético.

La cuadricorriente $\,J^{\alpha }$ esta descrita por una 1-forma y lleva la información sobre la distribucion de cargas y corrientes. Sus componentes son:

$\,J^{\alpha }=(c\rho (\mathbf {r} ,t),\mathbf {J} (\mathbf {r} ,t))$

Que debe cumplir la siguiente relación geométrica para que se cumpla la ecuación de continuidad.

$\,\delta J=0$

Escrito en componentes de los sistemas coordenados Lorentz queda:

$\partial _{\alpha }J^{\alpha }=0$

Para poner en correspondencia objetos del mismo rango, se utiliza el operador de Laplace-Beltrami o laplaciana definida como:

$\Box =d\delta +\delta d$

Podemos poner en correspondencia el cuadrivector densidad de corriente con otro objeto del mismo rango como es el cuadripotencial, que lleva la información de el potencial eléctrico y el potencial vector magnético.

$\Box A=\mu _{0}J$

O escrito en coordenadas Lorentz obtenemos que:

$\partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\alpha }=\mu _{0}J^{\alpha }$

Expresión que reproduce las ecuaciones de onda para los potenciales electromagnéticos.

La 1-forma A lleva la información sobre los potenciales de los observadores inerciales siendo sus componentes:

$A^{\alpha }=({\frac {\Phi }{c}},\mathbf {A} )$

Para obtener el objeto geométrico que contiene los campos, tenemos que subir el rango de A mediante el operador diferencial exterior $\partial$ obteniendo la 2-forma F campo electromagnético. En forma geométrica podemos escribir:

$\,F=dA$

Que expresado para un sistema inercial Lorentz tenemos que:

$F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }$

Con lo que obtenemos el tensor de campo electromagnetico.

$F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&-{\cfrac {E_{x}}{c}}&-{\cfrac {E_{y}}{c}}&-{\cfrac {E_{z}}{c}}\\{\cfrac {E_{x}}{c}}&0&B_{z}&-B_{y}\\{\cfrac {E_{y}}{c}}&-B_{z}&0&B_{x}\\{\cfrac {E_{z}}{c}}&B_{y}&-B_{x}&0\end{bmatrix}}$

Primer par de ecuaciones de Maxwell

La siguientes expresiones ligan los campos con las fuentes, relacionamos la cuadricorriente con el tensor campo electromagnético mediante la forma geométrica:

$\,\delta F=\mu _{0}J$

O bien en coordenadas Lorentz:

$\partial _{\mu }F^{\mu \nu }=\mu _{0}J^{\nu }$

Obtención de las ecuaciones

Para un observable en S partiendo de expresión en coordenadas Lorentz podemos obtener:

• Para $\,\nu =0$ tenemos que: $\partial _{\mu }F^{\mu 0}=\mu _{0}J^{0}$, entonces:

$\mu _{0}c\rho (\mathbf {r} ,t)=\partial _{1}F^{10}+\partial _{2}F^{20}+\partial _{3}F^{30}={\frac {1}{c}}\left[{\frac {\partial E_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial E_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial E_{z}}{\partial z}}\right]$

Por tanto:

$\nabla \mathbf {E} ={\frac {\rho (\mathbf {r} ,t)}{c}}$

• Para $\,\nu =1,2,3$ podemos obtener de la misma forma que:

$\nabla \wedge \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$

Segundo par de ecuaciones de Maxwell

Corresponden a las ecuaciones homogéneas. Escritas en forma geométrica tenemos que:

$\,\delta *F=0$

Que corresponde con la expresión en los sistemas coordenados Lorentz:

$\,\partial _{\mu }*F^{\mu \nu }=0$

Donde el tensor $\,*F$ es el tensor dual de F. Se obtiene mediante el operador de Hodge.

Obtención de las ecuaciones

• Para $\,\nu =0$:

$\partial _{\mu }*F^{\mu 0}=\partial _{1}*F^{10}+\partial _{2}*F^{20}+\partial _{3}*F^{30}=\left[{\frac {\partial B_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial B_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial B_{z}}{\partial z}}\right]=0$

Por tanto:

$\nabla \wedge \mathbf {B} =0$

• Para $\,\nu =1,2,3$ se obtiene la ecuación vectorial:

$\nabla \wedge \mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=0$

La propiedad $\,\partial _{\alpha }*F^{\alpha \beta }=0$ reproduce las ecuaciones de Maxwell internas, que se puede expresar como $\,d\mathbf {F} =0$, que se puede escribir en los sistemas coordenados Lorentz como:

$\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }=0$

Podemos resumir el conjunto de expresiones que relacionan los objetos que describen el campo electromagnético en la siguiente tabla. La primera columna son las relaciones geométricas, independientes de cualquier observador; la segunda columna son las ecuaciones descritas mediante un sistema coordenado Lorentz; y la tercera es la descripción de la relación y la ley que cumple.

Forma Geométrica	Covariante Lorentz	Descripción
$\,\delta A=0$	$\,\partial _{\mu }A^{\mu }=0$	Condición de Lorentz
$\,F=dA$	$F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }$	Definición de Campos Electromagnéticos
$\Box A=\mu _{0}J$	$\partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\alpha }=\mu _{0}J^{\alpha }$	Ecuaciones de Ondas
${\begin{matrix}\delta F=\mu _{0}J\\\delta *F=0\end{matrix}}$	${\begin{matrix}\partial _{\mu }F^{\mu \nu }=\mu _{0}J^{\nu }\\\partial _{\mu }*F^{\mu \nu }=0\end{matrix}}$	Ecuaciones de Maxwell
$\,\delta J=0$	$\partial _{\alpha }J^{\alpha }=0$	Ley de conservación de la Carga

Finalmente el cuadrigradiente se define así:

${\partial \over {\partial x^{\alpha }}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \partial _{\alpha }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {}_{,\alpha }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {\partial }{\partial ct}},\nabla \right)$

Los índices repetidos se suman de acuerdo a la convenio de sumación de Einstein. De acuerdo con el cálculo tensorial, los índices pueden subirse o bajarse por medio de la matriz fundamental g.

El primer tensor es una expresión de dos ecuaciones de Maxwell, la ley de Gauss y la ley de Ampère generalizada; la segunda ecuación es consecuentemente una expresión de las otras dos leyes.

Se ha sugerido que el componente de la fuerza de Lorentz $\ {\vec {v}}\times {\vec {B}}$ se puede derivar de la ley de Coulomb y por eso la relatividad especial asume la invarianza de la carga eléctrica.​​

Expresión de las ecuaciones para una frecuencia constante

En las ecuaciones de Maxwell, los campos vectoriales no son solo funciones de la posición, en general son funciones de la posición y del tiempo, como por ejemplo ${\vec {H}}(x,y,z,t)$. Para la resolución de estas ecuaciones en derivadas parciales, las variables posicionales se encuentran con la variable temporal. En la práctica, la resolución de dichas ecuaciones pueden contener una solución armónica (sinusoidal).

Con ayuda de la notación compleja se puede evitar la dependencia temporal de los resultados armónicos, eliminando así el factor complejo de la expresión $\ e^{j\omega t}$. Gran parte de las resoluciones de las ecuaciones de Maxwell toman amplitudes complejas, ademas de no ser solo función de la posición. En lugar de la derivación parcial en el tiempo se tiene la multiplicación del factor imaginario $\ j\omega$, donde $\ \omega$ es la frecuencia angular.

En la forma compleja, las ecuaciones de Maxwell toman la siguiente forma:​

${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}=\rho$

${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0$

${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-j\omega {\vec {B}}$

${\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\vec {j}}=(\sigma +j\omega \varepsilon ){\vec {E}}$

Véase también

• Electromagnetismo
• James Clerk Maxwell
• Oliver Heaviside
• Carga
• Ecuación de onda electromagnética
• Ecuaciones de Jefimenko
• Ley de Gauss
• Ley de Faraday
• Ley de Ampère

Enlaces externos

• On Physical Lines of Force
• A dinamical theory of the electromagnetic field Trabajo original de Maxwell
• Monografías.com archivo sobre ecuaciones de Maxwell
• Modelo de Maxwell
• Fundamentos de la radiación