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A continuación vamos a deducir la derivada de la función logaritmo de base apropiada cualquiera y la derivada de la función exponencial.
Derivada de la función logarítmica base a[editar]
Sea la función logaritmo base a: , por la definición de derivada:
Por las propiedades de los logaritmos tenemos que:
Que podemos transformar en:
Cuando tiende a cero, tiende a infinito, introduciendo el cambio de variable resulta :
Y por la definición del número e, tenemos que:
O, lo que es lo mismo:
En el caso particular del logaritmo natural:
Ya que .[1]
Derivada de la función exponencial[editar]
Partimos de una función exponencial . Vamos a usar la derivada de la función inversa:
Dado que y son funciones inversas, tenemos que:
O lo que es lo mismo:
En el caso concreto que , tenemos que:
Ya que .
Referencias y notas[editar]
- ↑ Piskunov: Cálculo diferencial e integral tomo I, Editorial Mir, Moscú 1983, sexta edición pp. 84 y 85