El cálculo fraccional de conjuntos (Fractional Calculus of Sets (FCS)), mencionado por primera vez en el artículo titulado "Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods",[1] es una metodología derivada del cálculo fraccional.[2] El concepto principal detrás del FCS es la caracterización de los elementos del cálculo fraccional utilizando conjuntos debido a la gran cantidad de operadores fraccionales disponibles.[3][4][5] Esta metodología se originó a partir del desarrollo del método de Newton-Raphson fraccional[6] y trabajos relacionados posteriores.[7][8][9]
El cálculo fraccional, una rama de las matemáticas que trata con derivadas de orden no entero, surgió casi simultáneamente con el cálculo tradicional. Esta emergencia fue en parte debido a la notación de Leibniz para derivadas de orden entero: . Gracias a esta notación, L'Hopital pudo preguntar en una carta a Leibniz sobre la interpretación de tomar en una derivada. En ese momento, Leibniz no pudo proporcionar una interpretación física o geométrica para esta pregunta, por lo que simplemente respondió a L'Hopital en una carta que «... es una aparente paradoja de la cual, algún día, se derivarán consecuencias útiles».
El nombre «cálculo fraccional» se origina a partir de una pregunta histórica, ya que esta rama del análisis matemático estudia derivadas e integrales de un cierto orden . Actualmente, el cálculo fraccional carece de una definición unificada de lo que constituye una derivada fraccional. En consecuencia, cuando no es necesario especificar explícitamente la forma de una derivada fraccional, típicamente se denota de la siguiente manera:
Los operadores fraccionales tienen varias representaciones, pero una de sus propiedades fundamentales es que recuperan los resultados del cálculo tradicional a medida que . Considerando una función escalar y la base canónica de denotada por , el siguiente operador fraccional de orden se define utilizando notación de Einstein:[10]
Denotando como la derivada parcial de orden con respecto al componente -ésimo del vector , se define el siguiente conjunto de operadores fraccionales:
cuyo complemento es:
Como consecuencia, se define el siguiente conjunto:
Sea un operador fraccional tal que . Considerando el producto de Hadamard modificado, se define el siguiente conjunto de operadores matriciales fraccionales:
Considerando una función y el siguiente conjunto de operadores fraccionales:
Entonces, tomando una bola , es posible definir el siguiente conjunto de operadores fraccionales:
el cual permite generalizar la expansión en serie de Taylor de una función vectorial en notación multi-índice. Como consecuencia, es posible obtener el siguiente resultado:
Sea una función con un punto tal que . Entonces, para algún y un operador fraccional , es posible definir un tipo de aproximación lineal de la función alrededor de de la siguiente manera:
lo cual se puede expresar de forma más compacta como:
donde denota una matriz cuadrada. Por otro lado, si y dado que , se infiere lo siguiente:
Como consecuencia, definiendo la matriz:
es posible definir el siguiente método iterativo fraccional:
El uso de operadores fraccionales en los métodos de punto fijo ha sido ampliamente estudiado y citado en diversas fuentes académicas. Ejemplos de ello se pueden encontrar en múltiples artículos publicados en revistas de renombre, como los presentados en ScienceDirect(1), (2), Springer(3), World Scientific(4), y MDPI(5), (6), (7), (8), (9), (10), (11), (12). También se incluyen estudios en Taylor & Francis (Tandfonline)(13), Cubo(14), Revista Mexicana de Ciencias Agrícolas(15), Journal of Research and Creativity(16), MQR(17), y Актуальные вопросы науки и техники(18). Estos trabajos resaltan la relevancia y aplicabilidad de los operadores fraccionales en la resolución de problemas.
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