Conjetura de Hall
En matemáticas, la conjetura de Hall es una pregunta abierta, a partir de 2015, sobre las diferencias entre cuadrados perfectos y cubos perfectos. Afirma que un cuadrado perfecto y2 y un cubo perfecto x3 que no son iguales deben estar a una distancia sustancial entre sí. Esta pregunta surgió al considerar la ecuación de Mordell en la teoría de puntos enteros en curvas elípticas.
Historia[editar]
La versión original de la conjetura de Hall, formulada por Marshall Hall, Jr. en 1970, dice que existe una constante positiva C tal que para cualquier par de números enteros x e y para los que y2 ≠ x3, se cumple que
Hall sugirió que quizás C podría tomarse como 1/5, lo que era consistente con todos los datos conocidos en el momento en que se propuso la conjetura. Danilov demostró en 1982 que el exponente 1/2 en el lado derecho (es decir, el uso de |x|1/2) no puede ser reemplazado por ninguna potencia mayor: para ningún δ>0 existe una constante C tal que |y2 - x3| > C|x|1/2 + δ siempre que y2 ≠ x3.
En 1965, Davenport demostró un análogo de la conjetura anterior en el caso de los polinomios: si f (t) y g (t) son polinomios distintos de cero sobre C, de modo que g(t)3 ≠ f(t)2 en C[t], entonces
La forma débil de la conjetura de Hall, enunciada por Stark y Trotter alrededor de 1980, reemplaza la raíz cuadrada en el lado derecho de la desigualdad por cualquier exponente menor que 1/2: para cualquier ε > 0, hay una constante c(ε) dependiendo de ε tal que para cualquier par de números enteros x e y para los que y2 ≠ x3,
La forma original, fuerte, de la conjetura con exponente 1/2 nunca ha sido refutada, aunque ya no se piensa que sea cierta y el término conjetura de Hall ahora generalmente significa la versión con la ε en ella. Por ejemplo, en 1998, Noam Elkies encontró el ejemplo
4478849284284020423079182 - 58538865167812233 = -1641843,
para el que la compatibilidad con la conjetura de Hall requeriría que C sea menor que .0214 ≈ 1/50, aproximadamente 10 veces más pequeño que la elección original de 1/5 que sugirió Hall.
La forma débil de la conjetura de Hall se seguiría de la conjetura ABC.[1] Una generalización a otras potencias perfectas es la conjetura de Pillai.
La siguiente tabla muestra los casos conocidos con . Téngase en cuenta que y se puede calcular como el número entero más cercano a x3/2.
# | x | r |
---|---|---|
1 | 2 | 1.41 |
2 | 5234 | 4.26 |
3 | 8158 | 3.76 |
4 | 93844 | 1.03 |
5 | 367806 | 2.93 |
6 | 421351 | 1.05 |
7 | 720114 | 3.77 |
8 | 939787 | 3.16 |
9 | 28187351 | 4.87 |
10 | 110781386 | 1.23 |
11 | 154319269 | 1.08 |
12 | 384242766 | 1.34 |
13 | 390620082 | 1.33 |
14 | 3790689201 | 2.20 |
15 | 65589428378 | 2.19 |
16 | 952764389446 | 1.15 |
17 | 12438517260105 | 1.27 |
18 | 35495694227489 | 1.15 |
19 | 53197086958290 | 1.66 |
20 | 5853886516781223 | 46.60 |
21 | 12813608766102806 | 1.30 |
22 | 23415546067124892 | 1.46 |
23 | 38115991067861271 | 6.50 |
24 | 322001299796379844 | 1.04 |
25 | 471477085999389882 | 1.38 |
26 | 810574762403977064 | 4.66 |
27 | 9870884617163518770 | 1.90 |
28 | 42532374580189966073 | 3.47 |
29 | 51698891432429706382 | 1.75 |
30 | 44648329463517920535 | 1.79 |
31 | 231411667627225650649 | 3.71 |
32 | 601724682280310364065 | 1.88 |
33 | 4996798823245299750533 | 2.17 |
34 | 5592930378182848874404 | 1.38 |
35 | 14038790674256691230847 | 1.27 |
36 | 77148032713960680268604 | 10.18 |
37 | 180179004295105849668818 | 5.65 |
38 | 372193377967238474960883 | 1.33 |
39 | 664947779818324205678136 | 16.53 |
40 | 2028871373185892500636155 | 1.14 |
41 | 10747835083471081268825856 | 1.35 |
42 | 37223900078734215181946587 | 1.38 |
43 | 69586951610485633367491417 | 1.22 |
44 | 3690445383173227306376634720 | 1.51 |
45 | 133545763574262054617147641349 | 1.69 |
46 | 162921297743817207342396140787 | 10.65 |
47 | 374192690896219210878121645171 | 2.97 |
48 | 401844774500818781164623821177 | 1.29 |
49 | 500859224588646106403669009291 | 1.06 |
50 | 1114592308630995805123571151844 | 1.04 |
51 | 39739590925054773507790363346813 | 3.75 |
52 | 862611143810724763613366116643858 | 1.10 |
53 | 1062521751024771376590062279975859 | 1.006 |
54 | 6078673043126084065007902175846955 | 1.03 |
Referencias[editar]
- ↑ Schmidt, Wolfgang M. (1996). Diophantine approximations and Diophantine equations. Lecture Notes in Mathematics 1467 (2nd edición). Springer-Verlag. pp. 205-206. ISBN 3-540-54058-X. Zbl 0754.11020.
Bibliografía[editar]
- Guy, Richard K. (2004). Unsolved problems in number theory (3rd edición). Springer-Verlag. D9. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001.
- Hall, Jr., Marshall (1971). «The Diophantine equation x3 - y2 = k». En Atkin, A.O.L.; Birch, B. J., eds. Computers in Number Theory. pp. 173–198. ISBN 0-12-065750-3. Zbl 0225.10012.
- Elkies, N.D. "Rational points near curves and small nonzero | 'x3 - y2'| via lattice reduction", http://arxiv.org/abs/math/0005139
- Danilov, L.V., "The Diophantine equation 'x3 - y2 ' ' = k ' and Hall's conjecture", 'Math. Notes Acad. Sci. USSR' 32(1982), 617-618.
- Gebel, J., Pethö, A., and Zimmer, H.G.: "On Mordell's equation", 'Compositio Math.' 110(1998), 335-367.
- I. Jiménez Calvo, J. Herranz and G. Sáez Moreno, "A new algorithm to search for small nonzero |'x3 - y2'| values", 'Math. Comp.' 78 (2009), pp. 2435-2444.
- S. Aanderaa, L. Kristiansen and H. K. Ruud, "Search for good examples of Hall's conjecture", 'Math. Comp.' 87 (2018), 2903-2914.