Coordenadas cónicas

Superficies de las coordenadas cónicas. Las constantes b y c fueron elegidas como 1 y 2, respectivamente. La esfera roja representa r= 2, el cono elíptico azul alineado con el eje z vertical representa μ=cosh(1) y el cono elíptico amarillo alineado con el eje x (verde) corresponde a ν²= 2/3. Las tres superficies se cruzan en el punto P (que se muestra como una esfera negra) con coordenadas cartesianas aproximadamente (1,26, -0,78, 1,34). Los conos elípticos cruzan la esfera según cónicas esféricas

Las coordenadas cónicas, a veces llamadas coordenadas esferoconales o esferocónicas,​ son un sistema de coordenadas tridimensional ortogonal que consta de esferas concéntricas (descritas por su radio r) y por dos familias de conos elípticos perpendiculares entre sí, alineados según los ejes z y x, respectivamente. Las intersecciones entre cada uno de los conos y la esfera forman dos cónicas esféricas.

Definiciones básicas

Las coordenadas cónicas $(r,\mu ,\nu )$ están definidas por

$x={\frac {r\mu \nu }{bc}}$

$y={\frac {r}{b}}{\sqrt {\frac {\left(\mu ^{2}-b^{2}\right)\left(\nu ^{2}-b^{2}\right)}{\left(b^{2}-c^{2}\right)}}}$

$z={\frac {r}{c}}{\sqrt {\frac {\left(\mu ^{2}-c^{2}\right)\left(\nu ^{2}-c^{2}\right)}{\left(c^{2}-b^{2}\right)}}}$

con las siguientes limitaciones en las coordenadas

$\nu ^{2}<c^{2}<\mu ^{2}<b^{2}.$

Las superficies de constante r son esferas de ese radio centradas en el origen

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},$

mientras que las superficies de constantes $\mu$ y $\nu$ son conos mutuamente perpendiculares

${\frac {x^{2}}{\mu ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\mu ^{2}-b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\mu ^{2}-c^{2}}}=0$

y

${\frac {x^{2}}{\nu ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\nu ^{2}-b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\nu ^{2}-c^{2}}}=0.$

En este sistema de coordenadas, tanto la ecuación de Laplace como la ecuación de Helmholtz son separables.

Factores de escala

El factor de escala para el radio r es uno (h_r= 1), como en las coordenadas esféricas. Los factores de escala para las dos coordenadas cónicas son

$h_{\mu }=r{\sqrt {\frac {\mu ^{2}-\nu ^{2}}{\left(b^{2}-\mu ^{2}\right)\left(\mu ^{2}-c^{2}\right)}}}$

y

$h_{\nu }=r{\sqrt {\frac {\mu ^{2}-\nu ^{2}}{\left(b^{2}-\nu ^{2}\right)\left(c^{2}-\nu ^{2}\right)}}}.$

Bibliografía

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Enlaces externos

• Descripción de MathWorld de coordenadas cónicas

• Datos: Q5161034