La fórmula de Bhaskara o fórmula general para las ecuaciones cuadráticas es una regla general que permite determinar las raíces de un polinomio de segundo grado. Fue deducida por el famoso matemático indio Bhaskara.[cita requerida]
Lo que se busca es determinar los valores
para los cuales la ecuación
tiene solución:
Demostración sencilla por cambio de variable[editar]
Demostración por traslado de la función:
La ecuación de segundo grado representa una parábola, y su mínimo o máximo lo encontramos igualando su derivada a 0, (punto en que la pendiente es 0).
.1-Trasladaremos la función de modo que este punto se encuentre en el punto 0 del eje "x".
de esta forma, el eje "y ", dividirá la función en dos partes simétricas:
Matemáticamente equivale al cambio de variable:
2.-Resolvemos la ecuación cuando
, que nos dará dos soluciones simétricas respecto del eje y
3.-Ya solo nos queda deshacer el cambio de variable:
Demostración por cambio de variable:
Se puede simplificar aplicando el cambio de variable
y
. Así la ecuación queda:
![{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44cd56f43e97a75ddf8fbd26a42ad74ea8a4ad22)
- Se aplica el cambio de variable
![{\displaystyle x^{2}+2mx+n=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f080db0a986dd840115aab136a73d3078be1fbca)
- Sumando
para ajustar cuadrados, y restando n en ambos miembros
![{\displaystyle x^{2}+2mx+m^{2}=m^{2}-n\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cdcffa226d2025f415a7175f326e8ed1936f2ee)
- Y seguidamente contrayendo de la siguiente manera
![{\displaystyle (x+m)^{2}=m^{2}-n\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22f71f498c12d85460263371b0d4069e9ab83d55)
- Se aplica la raíz cuadrada a ambos lados
![{\displaystyle x+m=\pm {\sqrt {m^{2}-n}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c402c8c6188dc16f44eab665142db3d7c3e926d3)
- Restando
a ambos lados
![{\displaystyle x=-m\pm {\sqrt {m^{2}-n}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/520a5927b763f329a2e34b45ef88a1d9fc25b93b)
- Deshaciendo la sustitución,
y ![{\displaystyle n=c/a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5042ef0fcf8d82992e1b5e6e38a39c8cbd499788)
![{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d18c6bb2eb13f5a32c6c84443866259ad51a1d8a)
- Y operando se obtiene la siguiente ecuación:
![{\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8686c0bdc8537f77dd10bf1067c5fa20ea84e49)
Demostración[editar]
con ![{\displaystyle a\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f455a7f96d74aa94573d8e32da3b240ab0aa294f)
- Se multiplica por
![{\displaystyle 4a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96c9e37040945875b1c79617c12552164b4e5a5b)
![{\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx+4ac=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f80791c40cce7c87321073e41894358f8a70dc8d)
- Seguidamente se suma
![{\displaystyle b^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acf98b04bfc723606ebb4a7942fa3ab94becd2ee)
![{\displaystyle b^{2}+4a^{2}x^{2}+4abx+4ac=b^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60797b3753972148d0ab6feb88fe79d9bd10bae5)
- Reordenando se observa que es el cuadrado de la suma y por tanto:
![{\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=b^{2}-4ac\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d94c72ce78efe9aac314000026ad1405c2135b5c)
- Y contrayendo la identidad notable
![{\displaystyle (2ax+b)^{2}=b^{2}-4ac\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a9ebb195efb0f150620555febd95bb0eff79031)
- Aplicación de la raíz cuadrada a ambos lados
![{\displaystyle 2ax+b=\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdd03134a4de7e731f4ed4d3a6161e30d9d947f2)
- Restando
a ambos lados de la igualdad
![{\displaystyle 2ax=-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a292ad8a5928d6134263dffdbfbdaed50ffe26a)
- Como
se divide entre ![{\displaystyle 2a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d325c24be7d760207674a169b078892bdd5cbc76)
![{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c2c4002e23f9dde4ea55258746368754c0ee4ac)
Véase también[editar]
Enlaces externos[editar]