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A continuación vamos a deducir la derivada de la función logaritmo de base apropiada cualquiera y la derivada de la función exponencial.
Derivada de la función logarítmica base a
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Sea la función logaritmo base a:
, por la definición de derivada:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{a}x=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(x+h)-\log _{a}x}{h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acd7e6144398b60739696f9280c3e97450a74657)
Por las propiedades de los logaritmos tenemos que:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{a}x=\lim _{h\to 0}\log _{a}\left({\frac {x+h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}=\lim _{h\to 0}\log _{a}\left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80d8983a2b4194e99db40d5b4bb29518a3ae0358)
Que podemos transformar en:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\log _{a}x&=\lim _{h\to 0}\log _{a}\left[\left(1+{\frac {1}{\frac {x}{h}}}\right)^{\frac {x}{h}}\right]^{\frac {1}{x}}\\&={\frac {1}{x}}\lim _{h\to 0}\log _{a}\left(1+{\frac {1}{\frac {x}{h}}}\right)^{\frac {x}{h}}\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}\left[\lim _{h\to 0}\left(1+{\frac {1}{\frac {x}{h}}}\right)^{\frac {x}{h}}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/628084053a43cbe0fee3dc8c1cd36f12276e173d)
Cuando
tiende a cero,
tiende a infinito, introduciendo el cambio de variable resulta :
![{\displaystyle \lim _{h\to 0}\left(1+{\frac {1}{\frac {x}{h}}}\right)^{\frac {x}{h}}=\lim _{y\to \infty }\left(1+{\frac {1}{y}}\right)^{y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c50f9b728cfc20efae26a288ad7bceeeec919e5b)
Y por la definición del número e, tenemos que:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{a}x={\frac {1}{x}}\log _{a}(e)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe318ed92b2d51faabd42e7723305026bcf78fc6)
O, lo que es lo mismo:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{a}x={\frac {1}{x\ln(a)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8da7f5ed16e666ac0b0a335330b975de1e60506)
En el caso particular del logaritmo natural:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1626c43664be09114164d33b2f4e672589230f15)
Ya que
.[1]
Derivada de la función exponencial
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Partimos de una función exponencial
. Vamos a usar la derivada de la función inversa:
![{\displaystyle [f^{-1}]^{\prime }(a)={\frac {1}{f^{\prime }[f^{-1}(a)]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f87fbfd31fc2b6f68514cb9a5f08885e55cf7575)
Dado que
y
son funciones inversas, tenemos que:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}a^{x}&={\frac {1}{[{\frac {1}{x}}\log _{a}(e)]\circ [a^{x}]}}\\&={\frac {1}{[{\frac {1}{a^{x}}}\log _{a}(e)]}}\\&={\frac {a^{x}}{\log _{a}(e)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfe3c31635caf7ed7c671857ea3efe6913aa9104)
O lo que es lo mismo:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}\ln a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc6c2a10d48e2893cf3224fe49f01e9de9da504a)
En el caso concreto que
, tenemos que:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c432d20d9a75e0f41d682184fa4b640357c3d6b3)
Ya que
.
- ↑ Piskunov: Cálculo diferencial e integral tomo I, Editorial Mir, Moscú 1983, sexta edición pp. 84 y 85