Sean las variables aleatorias
independientes e idénticamente distribuidas con función de distribución
y función de densidad
. Sea también la variable
definida por:
. Entonces, la función de distribución del mínimo de la muestra está dada por:
, y su función de densidad:
.
Demostración[editar]
Se parte de la demostración de la distribución del máximo de una muestra. Supongamos que
es la función de distribución de Y, entonces:
A diferencia del máximo, el mínimo de
puede ser menor que
, mientras que muchos de los
pueden ser mayores. Por esta razón se trabaja con el complemento del evento
, es decir, con
.
Como
para
, el evento
es equivalente al evento
. Es decir sea mayor que un número
, cada una de las
tiene que ser mayor que ese número
. Por lo tanto:
![{\displaystyle G(y)=P(Y\leq y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd460f8f134a5c49098a9fb074b7afad4b4671dc)
![{\displaystyle =P(min(X_{1},...,X_{n})\leq y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0175e8bc68c8b428bcd6db97433c0a8f9f117e0a)
(Complemento)
![{\displaystyle =1-P(X_{1}>y,X_{2}>y,...,X_{n}>y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be1bb9e45b6b778f0949b49f664f62bd0909ee17)
(Independencia)
(Distribución idéntica)
(Definición)
Del mismo modo, la función de densidad de Y sería:
Enlaces externos[editar]
Documento original (incluye ejemplos) http://www.edu-esta.org/materiales/probabilidad/dist_minimo.pdf (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).