Espacio métrico probabilístico
En matemáticas, los espacios métricos probabilísticos son una generalización de espacios métricos donde la distancia ya no toma valores en los números reales no negativos , subo en espacios de funciones de distribución.[1]
Sea D+ el conjunto de todas las funciones densidad de probabilidad F tales que F(0) = 0 (F es una aplicación continua por la izquierda, no decreciente de en tal que el max(F) = 1).
A continuación, se da un conjunto no-vacío S y una función F: S × S → D+ donde designamos como F(p, q), en lugar de Fp,q, a cada (p, q) ∈ S × S. Se dice que el par ordenado (S, F) es un espacio métrico probabilístico si:
- Para todas las u y v en S, u = v si y solo si para todo .
- Para todas las u y v en S, .
- Para todos los u, v y w en S, y para .[2]
Historia
[editar]Los espacios métricos probabilísticos son introducidos inicialmente por Menger, que se denominaron métricas estadísticas. [3] Poco después, Wald criticaría la desigualdad generalizada del triángulo, proponiendo una alternativa a la misma.[4] Sin embargo, ambos autores habían llegado a la conclusión de que, en algunos aspectos, la desigualdad de Wald era un requisito demasiado estricto para imponerlo a todos los espacios métricos de probabilidad, lo que se incluye en parte en el trabajo de Schweizer y Sklar. [5] Más tarde, los espacios métricos probabilísticos resultaron ser muy adecuados para ser utilizados con conjuntos difusos [6] y más adelante llamados espacios métricos difusos[7]
Métrica de probabilidad de variables aleatorias
[editar]Una métrica de probabilidad D entre dos variables aleatorias X e Y puede definirse, por ejemplo, como
donde F(x, y) denota la función de densidad de probabilidad conjunta de las variables aleatorias X e Y. Si X e Y son independientes entre sí, entonces la ecuación anterior se transforma en
donde f(x) y g(y) son funciones de densidad de probabilidad de X e Y respectivamente.
Se puede demostrar fácilmente que tales métricas de probabilidad no satisfacen el primer axioma métrico o lo satisfacen si, y sólo si, los argumentos X e Y son ciertos eventos descritos por una densidad que sea una delta de Dirac . En este caso:
la métrica de probabilidad simplemente se transforma en la métrica entre valor esperado , de las variables X e Y.
Para todas las demás variables aleatorias X, Y la métrica de probabilidad no satisface la condición de identidad de indiscernibles requerida para ser satisfecha por la métrica del espacio métrico, es decir:
Ejemplo
[editar]Por ejemplo, si ambas función de distribución de probabilidad de las variables aleatorias X e Y se distribuyen según una distribución normal (N) y tienen la misma desviación estándar , la integración de obtiene:
Dónde
y es la función de error complementaria.
En este caso:
Métrica de probabilidad de vectores aleatorios
[editar]La métrica de probabilidad de las variables aleatorias puede extenderse a la métrica D(X, Y) de vectores aleatorios X, Y sustituyendo con cualquier operador métrico d(x, y):
donde F(X, Y) es la función de densidad de probabilidad conjunta de los vectores aleatorios X e Y. Por ejemplo, sustituyendo d(x, y) por métrica euclídea y proporcionando que los vectores X e Y son mutuamente independientes se obtendría que:
Referencias
[editar]- ↑ Sherwood, H. (1971). «Complete probabilistic metric spaces». Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete 20 (2): 117-128. ISSN 0044-3719. doi:10.1007/bf00536289.
- ↑ Schweizer, Berthold; Sklar, Abe (1983). Probabilistic metric spaces. North-Holland series in probability and applied mathematics. New York: North-Holland. ISBN 978-0-444-00666-0.
- ↑ Menger, K. (2003), «Statistical Metrics», Selecta Mathematica, Springer Vienna, pp. 433-435, ISBN 978-3-7091-7294-0, doi:10.1007/978-3-7091-6045-9_35.
- ↑ Wald, A. (1943), «On a Statistical Generalization of Metric Spaces», Proceedings of the National Academy of Sciences 29 (6): 196-197, Bibcode:1943PNAS...29..196W, PMC 1078584, PMID 16578072, doi:10.1073/pnas.29.6.196.
- ↑ Schweizer, B. and Sklar, A (2003), «Statistical Metrics», Selecta Mathematica, Springer Vienna, pp. 433-435, ISBN 978-3-7091-7294-0, doi:10.1007/978-3-7091-6045-9_35.
- ↑ Bede, B. (2013). Mathematics of Fuzzy Sets and Fuzzy Logic. Studies in Fuzziness and Soft Computing 295. Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-642-35220-1. doi:10.1007/978-3-642-35221-8.
- ↑ Kramosil, Ivan; Michálek, Jiří (1975). «Fuzzy metrics and statistical metric spaces». Kybernetika 11 (5): 336-344.