Espacio medible
En matemáticas, un espacio medible o espacio de Borel[1] es un objeto básico en la teoría de la medida. Consiste en un conjunto y un σ-álgebra, que define los subconjuntos que se medirán.
Definición
[editar]Considere un conjunto y una σ-álgebra en . Entonces el par se llama espacio medible.[2]
Tenga en cuenta que, a diferencia de un espacio de medida, no se necesita ninguna medida para un espacio medible.
Ejemplo
[editar]Dado el conjunto
Un posible -álgebra sería
Entonces es un espacio medible. Otro posible -álgebra sería el conjunto potencia en :
Con esto, un segundo espacio medible en el conjunto es dado por .
Espacios medibles comunes
[editar]Si es finito o infinito numerable, se toma la mayoría de las veces como -álgebra el conjunto potencia de . Esto conduce al espacio medible .
Si es un espacio topológico, se toma comúnmente el -álgebra de Borel . Esto conduce al espacio medible que es común para todos los espacios topológicos, por ejemplo, los números reales .
Ambigüedad con espacios Borel
[editar]El término espacio Borel se usa para diferentes tipos de espacios medibles. Puede referirse a
- cualquier espacio medible, por lo que es sinónimo de espacio medible como se define anteriormente[1]
- un espacio medible que es Borel isomorfo a un subconjunto medible de los números reales (nuevamente con el Borel -álgebra)[3]
Referencias
[editar]- ↑ a b Hazewinkel, Michiel. (©1988-©1994). Encyclopaedia of mathematics : an updated and annotated translation of the Soviet "Mathematical encyclopaedia". Reidel. ISBN 1-55608-010-7. OCLC 16755499.
- ↑ Klenke, Achim (2008). Probability Theory (en inglés). Springer London. p. 18. ISBN 978-1-84800-047-6. doi:10.1007/978-1-84800-048-3.
- ↑ Kallenberg, Olav (2017). Random Measures, Theory and Applications. Probability Theory and Stochastic Modelling (en inglés) 77. Springer International Publishing. p. 15. ISBN 978-3-319-41596-3. doi:10.1007/978-3-319-41598-7.