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Fórmulas de Newton-Cotes

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En análisis numérico las fórmulas de Newton-Cotes (nombradas así por Isaac Newton y Roger Cotes) son un grupo de fórmulas de integración numérica de tipo interpolatorio, en las cuales se evalúa la función en puntos equidistantes, para así hallar un valor aproximado de la integral.

Este método es eficiente si se conocen los valores de la función en puntos igualmente separados. Si se pueden cambiar los puntos en los cuales la función es evaluada otros métodos como la cuadratura de Gauss son probablemente más eficientes.

Introducción

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Para la integración numérica de utilizando las fórmulas de Newton-Cotes se subdivide el intervalo en intervalos iguales. Así se obtienen puntos donde se evaluará la función:

Si y se denominan fórmulas cerradas de Newton-Cotes ya que los intervalos de los extremos están incluidos en la integral, si por el contrario no se tienen en cuenta se denominan fórmulas abiertas de Newton-Cotes. Para el cálculo se utilizará la siguiente función:

donde:

es el polinomio de Lagrange, por lo tanto se deduce que

Esta función se expresa de la siguiente forma

Donde los "pesos" wk están definidos por

Fórmulas cerradas de Newton-Cotes

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Estas son algunas de las fórmulas cerradas de Newton-Cotes.

La notación es una abreviatura de , con   ,     y   el grado.

Regla del trapecio

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Ilustración de la regla del trapecio.
Ilustración de la regla del trapecio.

La regla del trapecio consiste en hallar la integral aproximada de una función a través de un polinomio de primer grado, es decir uniendo mediante una recta los puntos en donde se evaluara la función.

Y el error es:

Siendo un número entre a y b.

Regla de Simpson

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Ilustración de la regla de Simpson.
Ilustración de la regla de Simpson.

La regla de Simpson (nombrada así por Thomas Simpson) halla la integral aproximada de una función mediante un polinomio de segundo o tercer grado.

Regla de Simpson 1/3

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La regla de Simpson 1/3 utiliza tres puntos consecutivos en donde se evalúa la función a través de un polinomio de segundo grado.

Y el error es:

siendo un número entre a y b.

Regla de Simpson 3/8

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La regla de Simpson 3/8 utiliza cuatro puntos consecutivos en donde se evalúa la función a través de un polinomio de tercer grado.

.

Y el error es:

Siendo un número entre a y b.

Regla de Boole

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La regla de Boole (llamada así debido a George Boole) utiliza cinco puntos consecutivos igualmente separados para calcular la integral aproximada de la función utilizando un polinomio de cuarto grado.

Y el error es:

Siendo un número entre a y b.

Regla de quinto orden

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La regla de quinto orden utiliza seis puntos consecutivos igualmente separados para calcular la integral aproximada de la función utilizando un polinomio de quinto grado.

Regla de Sexto orden

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La regla de sexto orden utiliza siete puntos consecutivos igualmente separados para calcular la integral aproximada de la función utilizando un polinomio de sexto grado.

Error para el n-ésimo orden

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Si para una partición , donde y para todo y impar se cumple que:

para algún , donde y .

Para realizar la integral utilizando el hecho de que para todo , debe llegarse a la integral de la forma:

Luego, sustitúyase para obtener

,

después debe efectuarse la sustitución la cual trasforma la integral en

.

De lo anterior, sustitúyase para obtener

,

donde es el factorial descendente . Obsérvese que si se tiene que , si , , los coeficientes de los términos del polinomio pueden escribirse como:

donde se define y para algún . Por lo tanto, para cualquier se cumple que

Si tomamos , se reescribe la integral como

,

de esto se obtiene

donde es el número de Stirling de primera especie. Tengamos en consideración que el número de Stirling de primera especie con signo se escribe como , de manera que si se obtiene que

así, para impar la fórmula de Newton-Cotes queda

Si para una partición , donde y para todo y par se cumple que:

para algún , procediendo con un razonamiento análogo al caso donde es impar, la anterior expresión queda de la forma

.

Fórmulas abiertas de Newton-Cotes

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Estas son algunas de las fórmulas abiertas de Newton-Cotes.

Regla del punto medio -Integración de Riemann

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Ilustración de la regla del punto medio.
Ilustración de la regla del punto medio.

En este método se divide la función en rectángulos, los cuales deben tener una altura igual al valor de la función en el punto medio. Así se calcularía la integral aproximada mediante un polinomio de grado cero.

Y el error es:

Siendo un número entre a y b.

Reglas compuestas

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Las fórmulas de Newton-Cotes aumentan su precisión si se aumenta el número de intervalos en que se divida la función, dicho de otra forma mientras los intervalos sean cada vez más pequeños. Como el intervalo generalmente es grande hay métodos que subdividen este intervalo en subintervalos más pequeños y a estos se les aplica las Fórmulas de Newton-Cotes, a la suma de estos subintervalos se le conoce como reglas compuestas. Cabe anotar que la precisión aumenta pero a costa de disminuir la eficiencia del método en cuanto al tiempo de duración y a posibles errores de redondeo.

Regla del trapecio compuesta

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Este es un ejemplo de regla compuesta.

Donde     son los subintervalos,

tal que     y  

siendo:     la distancia entre los subintervalos.

Referencias

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  • Programación y Métodos Numéricos: Integración Numérica, Fórmulas de Newton-Cotes, Fórmulas de Gauss. Prof. Carlos Conde Lázaro Prof. Arturo Hidalgo López Prof. Alfredo López. Marzo de 2007. Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos – ETSIM - UPM

Enlaces externos

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