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En el ámbito de las matemáticas , las funciones de Struve modificadas son funciones especiales que están estrechamente relacionadas con las funciones de Struve y las funciones esféricas de Bessel modificadas .
Se trata de la función
L
ν
(
z
)
=
(
z
2
)
ν
+
1
∑
k
=
0
∞
(
z
2
)
2
k
Γ
(
k
+
3
2
)
Γ
(
ν
+
k
+
3
2
)
=
2
(
z
2
)
ν
π
Γ
(
ν
+
1
/
2
)
∫
0
π
/
2
sinh
(
z
cos
θ
)
sin
2
ν
θ
d
θ
{\displaystyle \mathbf {L} _{\nu }(z)=\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu +1}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {({\frac {z}{2}})^{2k}}{\Gamma (k+{\frac {3}{2}})\Gamma (\nu +k+{\frac {3}{2}})}}={\frac {2\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu }}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma (\nu +1/2)}}\int _{0}^{\pi /2}\sinh(z\cos \theta )\sin ^{2\nu }\theta d\theta }
En particular
L
0
(
z
)
=
2
π
z
[
1
+
∑
k
=
1
∞
∏
j
=
1
k
(
z
2
j
+
1
)
2
]
{\displaystyle \mathbf {L} _{0}(z)={\frac {2}{\pi }}\,z\,\left[1+\sum _{k=1}^{\infty }\prod _{j=1}^{k}\left({\frac {z}{2j+1}}\right)^{2}\right]}
L
1
(
z
)
=
2
π
∑
k
=
1
∞
∏
j
=
1
k
z
2
4
j
2
−
1
{\displaystyle \mathbf {L} _{1}(z)={\frac {2}{\pi }}\,\sum _{k=1}^{\infty }\prod _{j=1}^{k}{\frac {z^{2}}{4j^{2}-1}}}
donde
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
se trata de la función gamma . Estas se vinculan con las funciones normales de Struve
H
ν
(
i
z
)
{\displaystyle \mathbf {H} _{\nu }(iz)}
con la siguiente relación:
L
ν
(
z
)
:=
−
i
e
−
i
ν
π
/
2
H
ν
(
i
z
)
{\displaystyle \mathbf {L} _{\nu }(z):=-ie^{-i\nu \pi /2}\mathbf {H} _{\nu }(iz)}
Luke, Y. L. (1962). Integrals of Bessel functions (en anglès) . McGraw-Hill.
Abramowitz, Milton (1972). «Capítol 12» . Handbook of Mathematical Functions, with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (en anglès) . Dover.
Zhang, Shanjie (1996). «Capítol 11». Computation of Special functions (en anglès) . J.Wiley.
Prudnikov, A. P. (1990). «§1.4 in Integrals and Series». The Struve Functions Hν (x) and Lν (x) (en anglès) . 3: More Special Functions. Gordon and Breach. p. 24-27.