En matemáticas, un función localmente integrable es una función que es integrable en cualquier conjunto acotado contenido en su dominio de definición y cuya adherencia está contenida también en dicho dominio. La importancia del concepto reside en el hecho de que se ignora el comportamiento de la función en el infinito, y se atiende sólo a su comportamiento local.
Definición formal[editar]
Más formalmente, sea
un conjunto abierto del espacio euclídeo
y sea
una función medible en el sentido de Lebesgue. Si la integral de Lebesgue:
es finita para todo conjunto acotado
, con
, entonces
es una función localmente integrable. El conjunto de todas las funciones localmente integrable es un espacio vectorial designado por:
Propiedades[editar]
Teorema. Toda función
del espacio
,
, donde
es un conjunto abierto de
es localmente integrable. Para ver esto, basta considerar la función característica
de un conjunto compacto
de
: entonces, para
donde
es un número positivo tal que
para un p dado tal que ![{\displaystyle \scriptstyle 1\leq p\leq +\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe531e93da934ae0e83f4fb43110514a11481fe5)
es la medida de Lebesgue del conjunto compacto ![{\displaystyle K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0)
Entonces por la desigualdad de Hölder se tiene que:
Y por tanto:
Nótese que puesto que la siguiente desigualdad es cierta:
la afirmación se sigue también para funciones
que pertenecen al espacio
para cada conjunto compacto
de
.
Referencias[editar]