Funciones de Lommel

Las funciones de Lommel son funciones especiales las soluciones de la ecuación diferencial de Lommel que es una forma inhomogenea de la ecuación diferencial de Bessel:

(1)

$z^{2}{\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+z{\frac {dy}{dz}}+(z^{2}-\nu ^{2})y=z^{\mu +1}.$

Las soluciones de esta ecuación pueden representarse como combinanciones lineales de las llamadas funciones de Lommel, de las que hay dos tipos las funciones s_μ,ν(z) y las funciones S_μ,ν(z), introducidas originalmente por Eugen von Lommel (1880):

$s_{\mu ,\nu }(z)={\frac {1}{2}}\pi \left[Y_{\nu }(z)\int _{0}^{z}z^{\mu }J_{\nu }(z)\,dz-J_{\nu }(z)\int _{0}^{z}z^{\mu }Y_{\nu }(z)\,dz\right]$

$\displaystyle S_{\mu ,\nu }(z)=s_{\mu ,\nu }(z)-{\frac {2^{\mu -1}\Gamma ({\frac {1+\mu +\nu }{2}})}{\pi \Gamma ({\frac {\nu -\mu }{2}})}}\left(J_{\nu }(z)-\cos(\pi (\mu -\nu )/2)Y_{\nu }(z)\right)$

donde J_ν(z) es una función de Bessel de primera especie, y Y_ν(z) una función de Bessel de segunda especie.

Bibliografía

Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. (1953), Higher transcendental functions. Vol II, McGraw-Hill Book Company, Inc., New York-Toronto-London, MR 0058756, archivado desde el original el 14 de julio de 2011, consultado el 13 de mayo de 2014 .
Lommel, E. (1875), «Ueber eine mit den Bessel'schen Functionen verwandte Function», Math. Ann. 9 (3): 425-444, doi:10.1007/BF01443342 .
Lommel, E. (1880), «Zur Theorie der Bessel'schen Funktionen IV», Math. Ann. 16 (2): 183-208, doi:10.1007/BF01446386 .
Solomentsev, E.D. (2001), «Funciones de Lommel», en Hazewinkel, Michiel, ed., Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .