Teorema de los ceros de Hilbert

El Nullstellensatz de Hilbert (en alemán: "teorema de los lugares de los ceros de Hilbert") es un teorema en geometría algebraica que relaciona variedades e ideales en anillos de polinomios sobre cuerpos algebraicamente cerrados. Fue probado inicialmente por David Hilbert en su artículo sobre teoría de invariantes publicado en 1893.

Formulación

Sea $k$ un cuerpo algebraicamente cerrado (como el de los números complejos). Considere el anillo de polinomios $k[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}]$ y sea $I$ un ideal en este anillo. El conjunto algebraico $V(I)$ definido por este ideal consiste de todas las n-tuplas $\mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})$ en $k^{n}$ tal que $f(\mathbf {x} )=0$ para todo $f$ en $I$ . El teorema de los ceros de Hilbert nos dice que si $p$ es un polinomio en $k[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}]$ que se anula en la variedad $V(I)$ , i.e. $p(\mathbf {x} )=0$ para todo $\mathbf {x}$ en $V(I)$ , entonces existe un número natural $r$ tal que $p^{r}$ está en $I$ .

Un corolario inmediato es el Nullstellensatz débil: El ideal $I$ contiene a $1$ si y solo si los polinomios en $I$ no tienen ceros en común en $k[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}]$ . Equivalentemente, si $I$ es un ideal propio en $k[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}]$ entonces $V(I)$ no puede ser vacío. Esta es la razón para el nombre del teorema; que es fácilmente demostrable a partir de esta forma "débil" usando el truco de Rabinowitsch. La suposición de que $k$ es algebraicamente cerrado es esencial aquí; por ejemplo el ideal propio $(X^{2}+1)$ en $\mathbb {R} [X]$ no tiene un cero común en $\mathbb {R}$ .

Con la notación común de la geometría algebraica, el Nullstellensatz puede ser también formulado como

I(V(J)) =

{\sqrt {J}}

para todo ideal

J

Aquí, ${\sqrt {J}}$ denota el radical de $J$ e $I(U)$ denota el ideal de todos los polinomios que se anulan en el conjunto $U$ . De este modo, obtenemos una correspondencia biyectiva que revierte el orden entre las variedades afines en $k^{n}$ y los ideales radicales de $k[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}]$ .

Referencias

Shafarevich, Igor. Basic Algebraic Geometry 1: Varieties in Projective Space. ISBN 978-3-642-37955-0.

Datos: Q1068976