En teoría de anillos, una rama de las matemáticas, el radical de un anillo
es el ideal por la izquierda
que es la intersección de todos los ideales por la izquierda maximales de
. Hay diferentes tipos de radicales, como el nilradical o el radical de Jacobson, así como una teoría de propiedades generales radicales.
Definición de radical de un ideal
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Sea
un anillo conmutativo y sea
un ideal del anillo. El conjunto
se denomina radical del ideal
(o sencillamente radical de
).
Si
es que existe un entero
tal que
. Así, si
es
.
Si además
existirá otro entero
de manera que
.
Por el Teorema del binomio:
![{\displaystyle (a+b)^{n+m}=\sum _{i=0}^{n+m}{n+m \choose i}a^{i}b^{n+m-i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2af9301afd6bef9502672b92123c078b52ac777c)
- Si
entonces es
, luego el exponente de
es mayor o igual que
, y así
.
- Si
entonces es
ya que
.
En cualquier caso, cada sumando de
está en
, que es un ideal de
, luego
y será
.
Así
es un ideal de
.
Un ideal
de un anillo conmutativo y unitario
se dice que es ideal radical si coincide con su radical, esto es, si
. Como es obvio, el radical de un ideal es siempre un ideal radical.
Todo ideal primo es radical: En efecto, Si
es un ideal primo, entonces
es un dominio integral, esto es, no tiene divisores de cero, y en particular no puede tener nilpotentes.
Es sencillo comprobar que si tomamos
la proyección canónica de
sobre
, entonces
(de hecho mediante esta demostración se demuestra de manera inmediata que
es un ideal de
; aquí,
es el nilradical de
, definido más abajo). Para ver esto, notar en primer lugar que si
, entonces para algún
,
es cero en
, y por tanto
está en
. Recíprocamente, si
está en
para algún
será
, entonces
es cero en
, y por tanto
está en
.
Mediante el uso de la localización, podemos ver que
es la intersección de todos los ideales primos de
que contienen a
: cada ideal primo es radical, así que la intersección de los ideales primos que contienen a
contienen a
. Si
es un elemento de
que no está en
, entonces sea
el conjunto
.
es multiplicativamente cerrado, así que podremos formar la localización
.
Sea
un Anillo conmutativo. Primero mostraremos que los elementos nilpotentes de
forman un ideal
. Sean
y
elementos nilpotentes de
con
y
. Probamos que
es nilpotente. Podemos usar el Teorema del binomio para expandir (a+b)^(n+m) :
![{\displaystyle (a+b)^{n+m}=\sum _{i=0}^{n+m}{n+m \choose i}a^{i}b^{n+m-i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2af9301afd6bef9502672b92123c078b52ac777c)
Para cada
, se da una y sólo una de las siguientes condiciones:
![{\displaystyle i\geq n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/515060afe2c7efb26b4257f4f89cd8526d86a0f5)
![{\displaystyle n+m-i\geq m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57d39a75c3d9f68d800aaffc5cba17ca02a0ba0a)
Esto dice que en cada expresión
, o bien el exponente de
será lo suficientemente grande como para anular la expresión (si
entonces es
, luego el exponente de
es mayor o igual que
, y así
), o bien el exponente de
será lo suficientemente grande como para anular la expresión (si
entonces es
). Así tenemos que
es nilpotente, y por tanto está en
.
Para terminar de comprobar que
es un ideal, cogemos un elemento arbitrario
.
, así que
es nilpotente, y está por tanto en
. Con lo que
es un ideal.
se denomina entonces nilradical de
, o radical nilpotente de
, y se denota por
.
Al anillo
se le denomina anillo reducido (asociado a
), aunque esta denominación está cayendo en el desuso.
Es inmediato comprobar que
.
Es sencillo demostrar que
, esto es, que el nilradical de un anillo es precisamente el radical del ideal nulo.
Por esto, el nilradical de
es la intersección de todos los ideales primos de
.