En álgebra, la identidad de Binet-Cauchy, que lleva el nombre de Jacques Philippe Marie Binet y de Augustin Louis Cauchy, establece que[1]
![{\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=1}^{n}b_{j}d_{j}{\biggr )}={\biggl (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=1}^{n}b_{j}c_{j}{\biggr )}+\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5707bf3004a3db25c640950d3e37fab6f212769d)
para cada elección de un número real o número complejo (o más generalmente, elementos de un anillo conmutativo).
Al configurar ai = ci y bj = dj, se obtiene la identidad de Lagrange, que es una versión más fuerte de la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz para el espacio euclídeo
.
La identidad de Binet-Cauchy y el álgebra exterior[editar]
Cuando n = 3, el primer y segundo términos en el lado derecho se convierten en las magnitudes cuadradas del producto escalar y del producto vectorial respectivamente; en las dimensiones n, se convierten en las magnitudes del producto esscalar y del producto exterior. Se puede escribir como
![{\displaystyle (a\cdot c)(b\cdot d)=(a\cdot d)(b\cdot c)+(a\wedge b)\cdot (c\wedge d)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f582b66cd327c556053b4a40567545f39d18c92)
donde a, b, c y d son vectores. También se puede escribir como una fórmula que da el producto escalar de dos productos exteriores, como
![{\displaystyle (a\wedge b)\cdot (c\wedge d)=(a\cdot c)(b\cdot d)-(a\cdot d)(b\cdot c)\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a615058b86f877b3a11070da4a2a41ed5b826891)
que se puede escribir como
![{\displaystyle (a\times b)\cdot (c\times d)=(a\cdot c)(b\cdot d)-(a\cdot d)(b\cdot c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc6579de97953112af36cf5e4b5d5aa24bab15fa)
en el caso n = 3.
En el caso especial a = c y b = d, la fórmula se convierte en
![{\displaystyle |a\wedge b|^{2}=|a|^{2}|b|^{2}-|a\cdot b|^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b95bcdda5b73e3a131f414ce035741c6fdbafe77)
Cuando tanto a como b son vectores unitarios, se obtiene la relación habitual
![{\displaystyle \sin ^{2}\phi =1-\cos ^{2}\phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fb0182ba6a651a1e498da53f4ea9d095e370933)
donde φ es el ángulo entre los vectores.
Notación de Einstein[editar]
Una relación entre los símbolos de Levi-Cevita y la delta de Kronecker generalizada es
![{\displaystyle {\frac {1}{k!}}\varepsilon ^{\lambda _{1}\cdots \lambda _{k}\mu _{k+1}\cdots \mu _{n}}\varepsilon _{\lambda _{1}\cdots \lambda _{k}\nu _{k+1}\cdots \nu _{n}}=\delta _{\nu _{k+1}\cdots \nu _{n}}^{\mu _{k+1}\cdots \mu _{n}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8493ca34a89798b44c36bd9b06143917899450e9)
La forma
de la identidad de Binet-Cauchy se puede escribir como
![{\displaystyle {\frac {1}{(n-2)!}}\left(\varepsilon ^{\mu _{1}\cdots \mu _{n-2}\alpha \beta }~a_{\alpha }~b_{\beta }\right)\left(\varepsilon _{\mu _{1}\cdots \mu _{n-2}\gamma \delta }~c^{\gamma }~d^{\delta }\right)=\delta _{\gamma \delta }^{\alpha \beta }~a_{\alpha }~b_{\beta }~c^{\gamma }~d^{\delta }\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65be959338151df584ef209cfcc09095037e8325)
Demostración[editar]
Desarrollando el último término,
![{\displaystyle \sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d131fd0d969644bf78f5738d40ddf00fc1e70b72)
![{\displaystyle =\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}c_{i}b_{j}d_{j}+a_{j}c_{j}b_{i}d_{i})+\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}b_{i}d_{i}-\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}d_{i}b_{j}c_{j}+a_{j}d_{j}b_{i}c_{i})-\sum _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}b_{i}c_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec13451b6cca4057f2dcc3c9c7166c0e868ae0bf)
donde el segundo y cuarto términos son iguales y se suman para completar los términos de la siguiente manera:
![{\displaystyle =\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}c_{i}b_{j}d_{j}-\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}d_{i}b_{j}c_{j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce394ca8f162b11226d9e13d265c81b0280b1839)
Esto completa la prueba después de factorizar los términos indexados por "i".
Generalización[editar]
Una forma general, también conocida como fórmula de Cauchy–Binet, establece lo siguiente:
Supóngase que A es una matriz de orden m×n y B es una matriz de n×m. Si S es un subconjunto de {1, ..., n } con m elementos, se escribe AS para la matriz de m×m cuyas columnas son aquellas columnas de A que tienen índices de S. De manera similar, se escribe BS para la matriz de m×m cuyas filas son aquellas filas de B que tienen índices de S.
Entonces, el determinante del producto de A y B satisface la identidad
![{\displaystyle \det(AB)=\sum _{\scriptstyle S\subset \{1,\ldots ,n\} \atop \scriptstyle |S|=m}\det(A_{S})\det(B_{S}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b81b6c147e9181c614fe775ffb4e071d3e2247b)
donde la suma se extiende sobre todos los posibles subconjuntos S de {1, ..., n} con m elementos.
Se obtiene la identidad original como un caso especial configurando
![{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{1}&\dots &a_{n}\\b_{1}&\dots &b_{n}\end{pmatrix}},\quad B={\begin{pmatrix}c_{1}&d_{1}\\\vdots &\vdots \\c_{n}&d_{n}\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c8a6fe00ceb2cafcfbc95a65e798547f5eac6c1)
Referencias[editar]