Se llaman integrales de Wallis a un conjunto de integrales introducidas por Wallis, que conforman una sucesión de integrales. El término n-ésimo de la sucesión de integrales de Wallis viene dado por:
La igualdad anterior se obtiene cambiando de variable en la integral,
y luego renombrando
en
.
Propiedades elementales[editar]
Los términos
son positivos no nulos porque las funciones
lo son sobre el intervalo
. La sucesión es estrictamente decreciente porque sobre
, sen x pertenece a ]0; 1[ y para todo número real r en ]0; 1[ la sucesión
decrece estrictamente. Otro modo de ver es calcular la diferencia:
![{\displaystyle w_{n+1}-w_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n+1}x\,dx-\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55eb59efbaa7dbf2327439bad33c1b2f55659309)
![{\displaystyle =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}(\sin ^{n+1}x-\sin ^{n}x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15cbf12bd095d5ca0d17e854c4bd5eb459bcc5ab)
porque sobre
luego la integral de una función continua negativa no nula
es negativa. La función
tiende hacia 0 para todo x en
cuando n tiende hacia el infinito, luego, trabajando sobre el intervalo compacto
:
![{\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }w_{n}=\lim _{n\rightarrow +\infty }\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}f_{n}(x)\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\lim _{n\rightarrow +\infty }f_{n}(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d7da0c57c3c9fb6ae1b4751bd38ba1e1601ebfd)
Formas explícitas de las integrales de Wallis[editar]
Los dos primeros términos de la sucesión se calculan directamente:
y
![{\displaystyle w_{1}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin x\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/652b62bdd091c4230abde30fce1f9d9fceaf243f)
![{\displaystyle =[-\cos x]_{0}^{\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eae5ea1d0c3487eb6221ced3a2450ada85a4d3d)
![{\displaystyle =-\cos {\frac {\pi }{2}}+\cos 0=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67f3de1b0a8d6b35e97705f50ba02e7f63df9eef)
Los siguientes términos se calculan gracias a una relación de inducción que se va a obtener por integración por partes:
![{\displaystyle w_{n+2}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n+2}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\cdot \sin ^{2}x\,dx=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57be0f4cf6f80463b508d1de1652da8686930b62)
![{\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\cdot (1-\cos ^{2}x)\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx-\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\cdot \cos ^{2}x\,dx=w_{n}-u_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc65bcd04c05f89fbbfb49d101587fbb2d5f4424)
La integral
se obtiene por integración por partes. Primero se integra
en:
y se deriva
en
:
![{\displaystyle u_{n}=\left[{\frac {\sin ^{n+1}x}{n+1}}\cos x\right]_{0}^{\frac {\pi }{2}}-\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\sin ^{n+1}x}{n+1}}(-\sin x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce5a409dae8cb976eb39fc07636e7921aec3bc35)
![{\displaystyle =0+\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\sin ^{n+2}x}{n+2}}\,dx={\frac {w_{n+2}}{n+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69f473442eb206f95a049bf45074536e8e387744)
Por tanto tenemos:
lo que equivale a
es decir
luego
lo que se escribe también
Esta relación permite expresar los términos de rango impar en función de
y los de rango par en función de
. En concreto:
Para n impar:
y
porque
; donde n! y k! son las factoriales de n y k.
Para n par se procede de la misma manera, salvo que los factores pares aparecen en el denominador; se multiplica el numerador y el denominador por el denominador para hacer aparecer la factorial n! arriba y las potencias de 2 abajo: sin detallar tanto como anteriormente, tenemos:
Aplicación a la fórmula de Stirling[editar]
La aplicación más notable de las integrales de Wallis es el cálculo de la constante que aparece en la fórmula de Stirling. Se procede así:
Como ya se ha visto, la sucesión
es decreciente, y
.
Luego ![{\displaystyle w_{n+2}<w_{n+1}<w_{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4dbe3bce129acc7be1dad47ed273a16ff535fd3)
lo que da
es decir
Tomando n par, tenemos
![{\displaystyle w_{n}={\frac {n!\pi }{2^{n+1}{\left({\frac {n}{2}}\right)!}^{2}}}\ \ {\mbox{ y }}\ \ w_{n+1}={\frac {2^{n}{\left({\frac {n}{2}}\right)!}^{2}}{(n+1)!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f877255ac630dffdeac55098a939b7e3ffb13351)
pues n+1 es impar.
Al multiplicar las fracciones se simplifican:
luego
y sacando la raíz:
Ahora introduzcamos en
la equivalencia
.
![{\displaystyle w_{n}\sim {\frac {C{\sqrt {n}}\ n^{n}e^{-n}\pi }{2^{n+1}{\left(C{\sqrt {\frac {n}{2}}}\ \left({\frac {n}{2}}\right)^{\frac {n}{2}}e^{-{\frac {n}{2}}}\right)}^{2}}}\ ={\frac {{\color {red}C}{\sqrt {n}}\ n^{n}{\color {blue}e^{-n}}\pi }{2^{n+1}{{\color {red}C^{2}}\ {\frac {n}{2}}\ \left({\frac {n}{2}}\right)^{n}{\color {blue}e^{-n}}}}}={\frac {{\sqrt {n}}\ {\color {Orange}n^{n}}\pi }{{\color {OliveGreen}2^{n+1}}{C\ {\frac {\color {Orange}n^{n+1}}{\color {OliveGreen}{2^{n+1}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d76529aeb32be072b080288bdf72ec4e2f7d7d0b)
.
Comparando con el último equivalente de
, se obtiene:
luego
y finalmente:
.
Referencias[editar]
Enlaces externos[editar]