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Kernel (teoría de conjuntos)

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En la teoría de conjuntos, el kernel [nota 1]​ o núcleo de una función f puede tomarse como:

Definición

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Para establecer una definición formal, se parte de que X e Y sean conjuntos y que f sea una función de X sobre Y. Los elementos x1 y x2 de X son equivalentes si f(x1) y f(x2) son iguales, es decir, son el mismo elemento de Y. El núcleo de f es la relación de equivalencia así definida.[1]

Cocientes

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Al igual que cualquier relación de equivalencia, el núcleo se puede modificar para formar un conjunto de cocientes, y el conjunto de cocientes es la partición:

Este conjunto de cocientes X / = f se denomina coimagen de la función f, y se denota como coim f (o una variación). La imagen es naturalmente isomorfa (en el sentido teórico de una biyección) de la imagen, im f, específicamente, la clase de equivalencia de x en X (que es un elemento de coim f) corresponde a f(x) en Y (que es un elemento de im f).

Como un subconjunto del cuadrado

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Al igual que cualquier relación binaria, el núcleo de una función puede considerarse como un subconjunto del producto cartesiano X×X. De esta manera, el núcleo se puede denotar ker f (o una variación) y se puede definir simbólicamente como

.[1]

El estudio de las propiedades de este subconjunto puede arrojar luz sobre f.

En estructuras algebraicas

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Si X e Y son estructuras algebraicas de algún tipo fijo (como grupos, anillos o espacios vectoriales ), y si la función f de X a Y es un homomorfismo, entonces ker f es una relación de congruencia (es decir, una relación de equivalencia que es compatible con la estructura algebraica), y la coimagen de f es un cociente de X.[1]​ La biyección entre la coimagen y la imagen de f es un isomorfismo en el sentido algebraico. Esta es la forma más general del primer teorema del isomorfismo. (véase también kernel (álgebra)).

En espacios topológicos

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Si X e Y son espacios topológicos y f es una función continua entre ellos, entonces las propiedades topológicas de ker f pueden arrojar luz sobre los espacios X e Y. Por ejemplo, si Y es un espacio de Hausdorff, entonces ker f debe ser un conjunto cerrado. Por el contrario, si X es un espacio de Hausdorff y ker f es un conjunto cerrado, entonces la coimagen de f, si se le da la topología del espacio cociente, también debe ser un espacio de Hausdorff.

Notas

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  1. De la palabra alemana "kernel", que significa núcleo

Referencias

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  1. a b c d Bergman, Clifford (2011), Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics, Pure and Applied Mathematics 301, CRC Press, pp. 14-16, ISBN 9781439851296 .

Bibliografía

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