Anexo:Funciones matemáticas

Dados los conjuntos X e Y, finitos o infinitos y una función f del conjunto X en el conjunto Y que asigna a todo elemento x de X un solo elemento y de Y:

${\begin{array}{rccl}f:&X&\longrightarrow {}&Y\\&x&\mapsto &y=f(x)\end{array}}$

Dado un par de valores x de X e y de Y, tal que la función f los relaciona, x es el origen de la función e y la imagen. En el análisis de funciones tomaremos x como variable independiente e y como variable dependiente, y = f(x), la forma matemática de la expresión que relaciona x con y, da lugar a los distintos tipos de funciones, algunos de los cuales debido a su importancia, tienen nombres propios, y por las similitudes que presentan se pueden agrupar en tipos, a continuación podemos ver algunas de estas funciones o tipos de funciones, con las correspondientes referencias a los artículos principales donde son estudiadas en profundidad.

Tipos de funciones y su clasificación

Todas las funciones se clasifican necesariamente dentro de uno de los dos conjuntos infinitos de funciones, que son:

• Conjunto de funciones elementales, formadas por los polinomios, el cociente de polinomios, los radicales, las funciones trigonométricas y sus inversas, las funciones exponencial y logarítmica, así como todas las funciones formadas a partir de las anteriores mediante operaciones algebraicas o composición de funciones.
• Conjunto de funciones no-elementales, son el resto de funciones, es decir, cualquier función que no puede ser obtenida mediante un número finito de pasos combinando funciones elementales es una función no elemental.

Función especial Función elemental Función algebraica Función potencial Función polinómica Función racional Radicación Función trascendente Función trigonométrica Función exponencial Logaritmo Función no elemental

Funciones elementales

Las funciones elementales son funciones recursivamente construibles a partir de alguna de los siguientes conjuntos:

1. Conjunto de funciones polinómicas
2. Función exponencial
3. Funciones trigonométricas

Mediante alguna de las siguientes operaciones

1. Operaciones de álgebra elemental (suma, resta, multiplicación, división) entre funciones de los anteriores conjuntos
2. Composición de funciones elementales de los anteriores conjuntos
3. Recíproco de funciones elementales (dada una función elemental su recíproca también es elemental por definición).

Por otra parte existen "operaciones" que no necesariamente dan lugar a una función elemental:

• La función primitiva de una función elemental no tienen porqué ser una función elemental.
• Las transformadas integrales de funciones elementales frecuentemente no son funciones elementales.
• Las soluciones de ecuaciones diferenciales expresables en términos de funciones elementales frecuentemente no son ellas mismas funciones elementales.

Funciones explícitas e implícitas

Una función puede venir dada en forma explícita o en forma implícita. Una fórmula explícita tiene la forma:

$y=f(x)\,$

que permite calcular directamente el valor de y dado el valor de x. Por el contrario una función está en forma implícita si la variable dependiente no está explicitada respecto a la variable independiente, expresándose de la forma:

$f(x,y)=0\;$

Niels Henrik Abel demostró en 1824, que una función algebraica de grado superior a 4 no puede explicitarse, por eso las funciones implícitas son aquellas que no pueden ser expresadas de forma explícita. Por ejemplo la función:

$y^{5}-2xy^{2}+1=0\;$

no puede ser expresada de forma explícita:

$y=f(x)\;$

• Una función es implícita si no puede ser expresada de forma explícita.
• Una función esta en su forma implícita si la variable dependiente no está despejada respecto a la variable independiente.

Funciones algebraicas

Una función se dice algebraica si en su formulación solo intervienen las operaciones algebraicas de suma, diferencia, multiplicación, división y potenciación, si una función no es algebraica es trascendente.

Las funciones algebraicas incluyen a las:

• Funciones polinómicas que son las funciones P(x), donde P es un polinomio en x, es decir una combinación finita de sumas y productos entre escalares (números) y la variable x. Usualmente, los escalares son números reales, pero en ciertos contextos, los coeficientes pueden ser elementos de un campo o un anillo arbitrario (por ejemplo, fracciones, o números complejos)

$y=4x^{3}-x\;$

Como casos particulares de funciones polinómicas se tienen:

Función constante: f(x)= a

Función lineal: f(x)= ax + b es un binomio del primer grado.

Función cuadrática: F(x)= ax² + bx + c es un trinomio del segundo grado.

• Funciones fracionales que son cocientes entre dos polinomios, estas funciones se obtienen al dividir una función polinomial por otra, no idénticamente nula, por ejemplo:

$y={\frac {3x^{2}-4x+1}{x^{2}-1}}$

Funciones radicales

La función raíz n-ésima (léase "raíz ene-ésima") es la función inversa de la función elemental de potenciación. Y en tanto que inversa de un tipo de función elemental la función raíz es también una función elemental. Si en una función, la variable independiente está bajo el signo de radicación, sin poder obtener una expresión de esa misma función en la que no esté, esa función es irracional, por ejemplo:

$y={\sqrt {x}}$

Si tenemos la función:

$y={\sqrt {x^{2}+2x+1}}$

la variable independiente, x, está bajo el signo de radicación, pero podemos ver que:

$y={\sqrt {x^{2}+2x+1}}\rightarrow \quad y={\sqrt {(x+1)^{2}}}\rightarrow \quad y=|x+1|$

con lo que obtenemos una función no irracional.

Funciones elementales básicas trascendentes

Las funciones elementales básicas trascendentes son un conjunto finito de funciones que son usadas en todas las áreas de las matemáticas, física e ingeniería. Estas abarcan:

1. Las Funciones trigonométricas: Seno, coseno, tangente; secante, cosecante, cotangente.
2. Las funciones trigonométricas inversas: seno inverso, coseno inverso, tangente inversa, cotangente inversa, secante inversa y cosecante inversa.
3. Las Funciones hiperbólicas: seno hiperbólico, coseno hiperbólico, tangente hiperbólica, cotangente hiperbólica, secante hiperbólica y cosecante hiperbólica.
4. Las funciones hiperbólicas inversas: seno hiperbólico inverso, coseno hiperbólico inverso, tangente hiperbólico inverso, cotangente hiperbólico inverso, secante hiperbólica inversa y cosecante hiperbólica inversa;
5. La Función logarítmica
6. La inversa del logaritmo, que correspondería a la Función exponencial.

De este modo son en total seis tipos distintos de funciones y se dicen elementales porque siempre posee la función un argumento sobre el cual operar, mientras que las funciones algebraicas quedan completamente definidas por la variable independiente, coeficientes y potencias.

Funciones no elementales

Funciones básicas especiales

Función indicatriz

Función escalonada

Función escalón unitario

Funciones de parte entera

Función unitaria de Heaviside

Función signo

Valor absoluto

Función mantisa

Función de Dirichlet

Función de Ackermann

Funciones de Teoría de números

Función divisor

Función φ de Euler

Función primordial de conteo

Integral de funciones elementales

Función integral de logaritmo

Integral exponencial

Función error

Funciones especiales

Las funciones especiales son funciones no elementales definidas ex professo para algunas aplicaciones particulares. Muchas de las funciones especiales son funciones que son soluciones de ecuaciones diferenciales de segundo orden de importancia práctica entre estas funciones se encuentran:

• La clase de las funciones hipergeométricas.
• Las funciones elípticas aparecidos por primera vez en conexión a varios problemas físicos relacionados con las oscilaciones del péndulo, aunque también aparecen en muchos otros contextos.
• Las funciones de Bessel y funciones asociadas. Estas funciones aparecen por ejemplo en problemas de separación de variables de ecuaciones que contienen el operador laplaciano expresado en coordenadas cilíndricas.
• Las funciones de Airy.
• Las funciones de Whitaker.

Otras cuantas funciones aparecen como soluciones para problemas de cálculo integral:

• La función de error
• La integral senoidal

Sin embargo no todas las funciones especiales proceden del cálculo diferencial, algunas otras que proceden originalmente de otros contextos son:

• Función W de Lambert
• Función zeta
• Función L

Aplicaciones en espacios funcionales

Una aplicación T entre espacios funcionales es una "función" que aplica funciones de una determianda clase o espacio funcional dando como resultado una función de otra clase o espacio funcional:

$T:{\mathcal {F}}_{1}\to {\mathcal {F}}_{2}$

Desde el punto de vista matemático, muchos espacios funcionales pueden ser dotados de la estructura de espacio topológico o espacio normado, lo cual permite extender los conceptos de continuidad, acotación, etc. a aplicaciones entre espacios de funciones. Algunos ejemplos de transformaciones son:

• Transformaciones integrales lineales
  • Transformada de Hilbert
  • Transformada de Laplace
  • Transformada de Fourier
• Operadores diferenciales lineales
  • Divergencia
  • Gradiente
  • Rotacional
  • Laplaciano

Funciones de probabilidad

• Distribución de probabilidad
• Densidad de probabilidad

Véase también

• Función matemática

Enlaces externos

• Algunas funciones elementales
• Introducción a las Funciones Reales de una variable Real