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Modelo de Thirring

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El modelo de Thirring es una teoría cuántica de campos exactamente resoluble que describe la interacción de un campo de Dirac en (1+1) dimensiones consigo mismo.

Definición

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El modelo de Thirring está definido por la densidad lagrangiana

donde es el campo, g es la constante de acoplamiento, m es la masa, y , con , son las matrices gamma en dimensión 2.

Es el único modelo de fermiones de Dirac en dimensión (1+1) con autointeracción local. De hecho, dado que solo existen 4 campos independientes por el principio de Pauli, todas las interacciones cuárticas locales son equivalentes, mientras para potencias más altas, las interacciones locales desaparecen. No se consideran interacciones que incluyen derivadas como , ya que no son renormalizables.

Las funciones de correlación del modelo de Thirring (con o sin masa) cumplen los axiomas de Osterwalder-Schrader, y por tanto es válido como teoría cuántica de campos.

Caso sin masa

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El modelo de Thirring sin masa es exactamente resoluble en el sentido de que se conoce una fórmula para la correlación de puntos.

Solución exacta

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Tras su introducción por Walter Thirring,[1]​ muchos autores intentaron resolver el caso sin masa, con resultados confusos. La fórmula correcta para la correlación de dos y cuatro puntos fue propuesta por Kenneth A. Johnson.[2]​ Más tarde Carl R. Hagen[3]​ y Bernhard Klaiber[4]​ extendieron la solución explícita a cualquier función de correlación de múltiples puntos.

Modelo de Thirring con masa

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El espectro de masa del modelo y su matriz S fueron evaluados explícitamente usando el ansatz de Bethe. Sin embargo, no se conoce una fórmula explícita para las correlaciones. Juan Ignacio Cirac, Paolo Maraner y Jiannis K. Pachos usaron el modelo de Thirring con masa para describir las redes ópticas.[5]

Solución exacta

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En una dimensión espacial y una temporal, el modelo fue resuelto por Vladímir Korepin usando el ansatz de Bethe. Con ello se pudo calcular el espectro de masa y la matriz S exactos. Este cálculo de la matriz S reprodujo los resultados publicados con anterioridad por Aleksandr Zamolódchikov.[6]​ La renormalización ultravioleta se realizó en el marco del ansatz de Bethe.

La producción de múltiples partículas se cancela on shell.

La solución exacta muestra la equivalencia del modelo de Thirring y la ecuación de sine-Gordon cuántica. El modelo de Thirring es dual-S a la ecuación de sine-Gordon. Los fermiones fundamentales del modelo de Thirring corresponden a los solitones de la ecuación de sine-Gordon.

Bosonización

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Sidney Coleman descubrió la equivalencia entre los modelos de Thirring y sine-Gordon.[7]​ A pesar de que este último es puramente bosónico, los fermiones de Thirring sin masa son equivalentes a los bosones libres. Los fermiones con masa son también equivalentes a bosones de sine-Gordon. Este fenómeno es más general en dos dimensiones y se conoce como bosonización.

Véase también

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Referencias

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  1. Thirring, W. (1958). «A Soluble Relativistic Field Theory?». Annals of Physics 3 (1): 91-112. Bibcode:1958AnPhy...3...91T. doi:10.1016/0003-4916(58)90015-0. 
  2. Johnson, K. (1961). «Solution of the Equations for the Green's Functions of a two Dimensional Relativistic Field Theory». Il Nuovo Cimento 20 (4): 773-790. Bibcode:1961NCim...20..773J. doi:10.1007/BF02731566. 
  3. Hagen, C. R. (1967). «New Solutions of the Thirring Model». Il Nuovo Cimento B 51 (1): 169-186. Bibcode:1967NCimB..51..169H. doi:10.1007/BF02712329. 
  4. Klaiber, B (1968). «The Thirring Model». Lect. Theor. Phys. 10A: 141-176. 
  5. Cirac, J. I.; Maraner, P.; Pachos, J. K. (2010). «Cold atom simulation of interacting relativistic quantum field theories». Physical Review Letters 105 (2): 190403. Bibcode:2010PhRvL.105b0403B. PMID 21231152. arXiv:1006.2975. doi:10.1103/PhysRevLett.105.190403. 
  6. Korepin, V. E. (1979). «Непосредственное вычисление S-матрицы в массивной модели Тирринга». Theoretical and Mathematical Physics 41: 169.  Translated in Korepin, V. E. (1979). «Direct calculation of the S matrix in the massive Thirring model». Theoretical and Mathematical Physics 41 (2): 953-967. Bibcode:1979TMP....41..953K. doi:10.1007/BF01028501. 
  7. Coleman, S. (1975). «Quantum sine-Gordon equation as the massive Thirring model». Physical Review D 11 (8): 2088-2097. Bibcode:1975PhRvD..11.2088C. doi:10.1103/PhysRevD.11.2088.