Número de Elsasser

El número de Elsasser, Λ, es un número adimensional en magnetohidrodinámica que representa la relación entre las fuerzas magnéticas y la fuerza de Coriolis.​

Simbología

Simbología

Símbolo	Nombre	Unidad
$\Lambda _{i}$	Número de Elsasser impuesto
$\Lambda _{d}$	Número de Elsasser dinámico
$\mathrm {Ek}$	Número de Ekman
$\mathrm {P_{m}}$	Número de Prandtl magnético
$\mathrm {R_{m}}$	Número de Reynolds magnético
	Dimensiones
$\ell$		m
$L$	Longitud	m
$d$	Dimensión de sección transversal	m
$t$	Tiempo	s
	Magnético
$B$	Densidad de flujo magnético	T
$H$	Fuerza de campo magnético	A / m
$\rho _{m}$	Densidad de energía magnética	J / m3
$q$	Carga	C
$\eta$	Difusividad magnética	m2 / s
$\mu _{0}$	Permeabilidad en el vacío	H / m
$\theta$	Ángulo entre velocidad ($u$) y campo magnético ($B$)
	Materia
$m$	Masa	kg
${\dot {m}}$	Flujo másico	kg / s
$u$	Velocidad	m / s
$\rho$	Densidad	kg / m3
$\nu$	Viscosidad cinemática	m2 / s
	Planeta
$\phi$	Latitud
$\Omega$	Velocidad de rotación del cuerpo	m / s

Descripción

Se define como:

$\Lambda ={\frac {\text{Fuerza magnética}}{\text{Fuerza de Coriolis}}}$

$\Lambda _{i}={\frac {q\ u\ B\sin \theta }{{\dot {m}}\ L\ (2\Omega \sin \phi )}}$

Número de Elsasser Impuesto (Bajo $\mathrm {R_{m}}$)

Deducción

	1	2	3	4	5	6
Ecuaciones	$\Lambda _{i}={\frac {q\ u\ B}{{\dot {m}}\ L\ (2\Omega )}}$	${\dot {m}}={\frac {m}{t}}$	$u={\frac {L}{t}}$	$\rho ={\frac {m}{d^{2}L}}$	$\eta ={\frac {d^{2}}{t}}$	$\mu _{0}=B{\Bigl (}{\frac {L\ t}{q}}{\Bigr )}$
Sustituyendo	$\Lambda _{i}={\frac {q\ (L/t)\ B}{(m/t)\ L\ (2\Omega )}}$
Multiplicando ${\Bigl (}{\frac {B\ d^{2}}{B\ d^{2}}}{\Bigr )}$	$\Lambda _{i}={\frac {q\ (L/t)\ B}{(m/t)\ L\ (2\Omega )}}{\Bigl (}{\frac {B\ d^{2}}{B\ d^{2}}}{\Bigr )}$
Ordenando	$\Lambda _{i}={\frac {B^{2}}{2\ [m/(d^{2}L)]\ [d^{2}/t]\ [B\ (L\ t/q)]\ \Omega }}$
Sustituyendo	$\Lambda _{i}={\frac {B^{2}}{2\ \rho \ \eta \ \mu _{0}\ \Omega }}$

$\Lambda _{i}={\frac {B^{2}}{2\ \rho \ \eta \ \mu _{0}\ \Omega }}$

Deducción

	1	2	3	4
Ecuaciones	$\Lambda _{i}={\frac {B^{2}}{2\ \rho \ \eta \ \mu _{0}\ \Omega }}$	$\rho _{m}={\frac {B^{2}}{\mu _{0}}}$	$\mathrm {P_{m}} ={\frac {\nu }{\eta }}$	$\mathrm {Ek} ={\frac {\nu }{L^{2}\ (2\Omega )}}$
Multiplicando ${\Bigl (}{\frac {\nu ^{2}L^{2}}{\nu ^{2}L^{2}}}{\Bigr )}$	$\Lambda _{i}={\frac {B^{2}}{2\ \rho \ \eta \ \mu _{0}\ \Omega }}{\Bigl (}{\frac {\nu ^{2}L^{2}}{\nu ^{2}L^{2}}}{\Bigr )}$
Ordenando	$\Lambda _{i}={\Bigl (}{\frac {L^{2}}{\nu ^{2}\ \rho }}{\Bigr )}{\Bigl (}{\frac {B^{2}}{\mu _{0}}}{\Bigr )}{\Bigl (}{\frac {\nu }{\eta }}{\Bigr )}{\Bigl (}{\frac {\nu }{L^{2}(2\ \Omega )}}{\Bigr )}$
Sustituyendo	$\Lambda _{i}={\Bigl (}{\frac {L^{2}}{\nu ^{2}\ \rho }}{\Bigr )}\rho _{m}\ \mathrm {P_{m}} \ \mathrm {Ek}$
Simplificando	$\Lambda _{i}={\Bigl (}{\frac {L}{\nu }}{\Bigr )}^{2}{\Bigl (}{\frac {\rho _{m}}{\rho }}{\Bigr )}\mathrm {P_{m}} \ \mathrm {Ek}$

$\Lambda _{i}={\Bigl (}{\frac {L}{\nu }}{\Bigr )}^{2}{\Bigl (}{\frac {\rho _{m}}{\rho }}{\Bigr )}\mathrm {P_{m}} \ \mathrm {Ek}$

Número de Elsasser dinámico (Alto $\mathrm {R_{m}}$)

Deducción

	1	2	3	4
Ecuaciones	$\Lambda _{d}={\frac {B^{2}}{2\ \rho \ \eta \ \mu _{0}\ \Omega }}$	$\eta ={\frac {d^{2}}{t}}$	$u={\frac {L}{t}}$	$\ell ={\frac {d^{2}}{L}}$
Sustituyendo	$\Lambda _{d}={\frac {B^{2}}{2\ \rho \ (d^{2}/t)\ \mu _{0}\ \Omega }}$
Multiplicando ${\Bigl (}{\frac {L}{L}}{\Bigr )}$	$\Lambda _{d}={\frac {B^{2}}{2\ \rho \ (d^{2}/t)\ \mu _{0}\ \Omega }}{\Bigl (}{\frac {L}{L}}{\Bigr )}$
Ordenando	$\Lambda _{d}={\frac {B^{2}}{2\ \rho \ \mu _{0}\ (L/t)\ (d^{2}/L)\ \Omega }}$
Sustituyendo	$\Lambda _{d}={\frac {B^{2}}{2\ \rho \ \mu _{0}\ u\ \ell \ \Omega }}$

$\Lambda _{d}={\frac {B^{2}}{2\ \rho \ \mu _{0}\ u\ \ell \ \Omega }}$

Deducción

	1	2	3
Ecuaciones	$\Lambda _{d}={\frac {B^{2}}{2\ \rho \ \mu _{0}\ u\ \ell \ \Omega }}$	$\Lambda _{i}={\frac {B^{2}}{2\ \rho \ \eta \ \mu _{0}\ \Omega }}$	$\mathrm {R_{m}} ={\frac {u\ d}{\eta }}$
Multiplicando ${\Bigl (}{\frac {\eta \ d}{\eta \ d}}{\Bigr )}$	$\Lambda _{d}={\frac {B^{2}}{2\ \rho \ \mu _{0}\ u\ \ell \ \Omega }}{\Bigl (}{\frac {\eta \ d}{\eta \ d}}{\Bigr )}$
Ordenando	$\Lambda _{d}={\frac {B^{2}}{2\ \rho \ (\eta )\ \mu _{0}\ \Omega }}{\Bigl (}{\frac {d}{[(u\ d)/\eta ]\ \ell }}{\Bigr )}$
Sustituyendo	$\Lambda _{d}=\Lambda _{i}{\Bigl (}{\frac {d}{\mathrm {R_{m}} \ \ell }}{\Bigr )}$

$\Lambda _{d}=\Lambda _{i}{\Bigl (}{\frac {d}{\mathrm {R_{m}} \ \ell }}{\Bigr )}$

Bibliografía

• Gubbins, David, and Emilio Herrero-Bervera, eds. Encyclopedia of geomagnetism and paleomagnetism. Springer Science & Business Media, 2007.

• Datos: Q3343001