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Número doble de Mersenne

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Números dobles de Mersenne primos
No. de términos conocidos 4
No. conjeturado de términos 4
Primeros términos 7, 127, 2147483647
Mayor término conocido 170141183460469231731687303715884105727
índice OEIS
  • A077586
  • a(n)= 2^(2^primo(n) − 1) − 1

En matemáticas, un número doble de Mersenne es un número de Mersenne de la forma

donde el exponente es a su vez el número de Mersenne , con n natural.

Números dobles de Mersenne primos

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A menudo se consideran solamente los números dobles de Mersenne que son primos.

Como un número de Mersenne es primo solo si es primo (puede ver la demostración en el artículo "Número de Mersenne"), se tiene que un número doble de Mersenne es primo solo si es a su vez un número primo de Mersenne.
Los primeros valores de p para los cuales es primo son p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89. De ellos, se sabe que es primo para p = 2, 3, 5, 7. Para p = 13, 17, 19 y 31, se han hallado factores de forma explícita, con lo que está demostrado que los números dobles de Mersenne correspondientes son compuestos. Por tanto, el candidato más pequeño para ser un número doble de Mersenne primo es , es decir, 22305843009213693951 − 1. Con aproximadamente 6,94 × 1017 cifras, este número es demasiado grande para cualquier test de primalidad de los que se conocen en la actualidad, aunque se sabe que no tiene ningún factor primo menor que 4 × 1033.[1]

He aquí la lista de los números dobles de Mersenne primos que se conocen en la actualidad:[2]

(sucesión A077586 en OEIS)

El siguiente candidato más pequeño para convertirse en el próximo doble primo de Mersenne es , o 22305843009213693951 − 1. Siendo aproximadamente 1.695×10694127911065419641, este número es demasiado grande para cualquier test de primalidad actualmente conocido. No tiene factor primo por debajo de 1 × 1036.[3]

Se conjetura con que probablemente no haya otros primos de Mersenne dobles además de los cuatro conocidos.[2][4]

Los factores primos más pequeños de cada (donde p es el n-ésimo número primo) son los factores siguientes:

7, 127, 2147483647, 170141183460469231731687303715884105727, 47, 338193759479, 231733529, 62914441, 2351, 1399, 295257526626031, 18287, 106937, 863, 4703, 138863, 22590223644617 ... (se ha comprobado que el siguiente menor término primo tiene que ser > 1 × 1036) (sucesión A309130 en OEIS)

Números de Catalan-Mersenne

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Sea . La sucesión definida de forma recursiva como:

2, M(2), M(M(2)), M(M(M(2))), M(M(M(M(2)))), ... (sucesión A007013 en OEIS)

se conoce como la sucesión de los números de Catalan-Mersenne.[5]​ Se dice[6]​ que a Catalan se le ocurrió esta sucesión tras descubrir Lucas en 1876 que era primo.

Aunque los primeros cinco términos son primos, ningún método conocido puede probar que cualquier otro término sea primo (en un tiempo razonable) simplemente porque son números demasiado grandes. Sin embargo, si no es primo, existe la posibilidad de descubrirlo calculando el módulo de respecto a algún primo pequeño (usando la exponenciación modular recursiva). Si el residuo resultante es cero, representa un factor de y, por lo tanto, refutaría su primalidad. Dado que es un número primo de Mersenne, dicho factor primo tendría que ser de la forma . Además, debido a que es compuesto cuando es compuesto, el descubrimiento de un término compuesto en la secuencia descartaría la posibilidad de más números primos en la secuencia.

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Véase también

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Referencias

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Bibliografía

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  • L. E. Dickson, History of the theory of numbers, Carnegie Institute of Washington, 1919. Reimpreso por Chelsea Publishing, Nueva York, 1971.

Enlaces externos

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