En matemáticas, la notación flecha de Knuth es un método de notación para enteros muy grandes, introducido por Donald Knuth en 1976.[1] Está estrechamente relacionada con la función de Ackermann y especialmente a la sucesión de hiperoperaciones. La idea está basada en el hecho de que la multiplicación puede ser vista como una adición iterada y la potenciación como una multiplicación iterada. Continuando de esta manera, se llega a la potenciación iterada (tetración) y al resto de la sucesión de hiperoperaciones, la cual es generalmente denotada usando la notación flecha de Knuth.
Introducción[editar]
Las operaciones aritméticas normales de adición, multiplicación, y potenciación es naturalmente extendida a una sucesión de hiperoperaciones como sigue.
La multiplicación por un número natural está definida como una adición iterada:
![{\displaystyle {\begin{matrix}a\times b&=&\underbrace {a+a+\dots +a} \\&&b{\mbox{ veces }}a\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a54b531d9451c00ec655dabacd839b2cd01e6d60)
Por ejemplo,
![{\displaystyle {\begin{matrix}4\times 3&=&\underbrace {4+4+4} &=&12\\&&3{\mbox{ veces }}4\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e46c6ca16d93811d6cfd6fe2db731f555211549c)
La potenciación para un exponente natural
se define como una multiplicación iterada, que Knuth denota por una sola flecha arriba:
![{\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow b=a^{b}=&\underbrace {a\times a\times \dots \times a} \\&b{\mbox{ veces}}a\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4879263e1d8823fa70030efec1532a1a48b77a1)
Por ejemplo,
![{\displaystyle {\begin{matrix}4\uparrow 3=4^{3}=&\underbrace {4\times 4\times 4} &=&64\\&3{\mbox{ veces }}4\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01f16ca091012a9fc318cbab9a23597cda42ea8f)
Para ampliar la secuencia de operaciones más allá de la potenciación, Knuth definió un operador "doble flecha" para denotar la potenciación iterada (tetración):
![{\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow \uparrow b&={\ ^{b}a}=&\underbrace {a^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{a}}}}}}} &=&\underbrace {a\uparrow (a\uparrow (\dots \uparrow a))} \\&&b{\mbox{ veces }}a&&b{\mbox{ veces }}a\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ab80095bc787db4d3626d21553128c50dcad6b5)
Por ejemplo,
![{\displaystyle {\begin{matrix}4\uparrow \uparrow 3&={\ ^{3}4}=&\underbrace {4^{4^{4}}} &=&\underbrace {4\uparrow (4\uparrow 4)} &=&4^{256}&\approx &1.34078079\times 10^{154}&\\&&3{\mbox{ veces }}4&&3{\mbox{ veces }}4\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78de092d8837663e4d768d63e4a9d684c3fcbc64)
Aquí y a continuación la evaluación se llevará a cabo de derecha a izquierda, así los operadores flecha de Knuth (como la potenciación) se definen como asociativos por derecha.
De acuerdo a esta definición,
![{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 2=3^{3}=27}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5217b6f0699e9e634d31a294211ccbc027f3cd0)
![{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7625597484987\approx 7.6\times 10^{12}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d21df3942cd63d6e52b74dee70e3c433f9488d9)
![{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 4=3^{3^{3^{3}}}=3^{3^{27}}=3^{7625597484987}\approx 1.2580740420492718971\times 10^{3638334640024}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d84bc82b3b1c817f09cea217a302442450c8ec9f)
![{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 5=3^{3^{3^{3^{3}}}}=3^{3^{3^{27}}}=3^{3^{7625597484987}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a34caec35f3b711e26f906445ac7ac801fa3d40f)
- etc.
Esto conduce ya a unos números bastante grandes, pero Knuth ampliado de la notación. Pasó a definir un operador "triple flecha" para tetración iterada (pentación):
seguido por un operador "cuádruple flecha" para definir la pentación iterada (hexación):
y así sucesivamente. La regla general es que un
operador flecha se expande hacia una asociativa por derecha de la serie de (
)operadores-flecha. Simbólicamente,
Ejemplos:
![{\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow 2=3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0c197272a8f7e1305f947d2c01c70877fb4b35c)
La notación
se utiliza comúnmente para denotar
con n flechas. De hecho,
es a [n+2] b con hiperoperación. Por ejemplo,
también puede ser escrito como 39 [4] 14, la "[4]" significa tetración, pero no igual a 39 [2] 14 = 39 × 14 = 546, del mismo modo,
77 [79] 77 en lugar de 77 [77] 77.
En expresiones como a
, la notación de la potenciación es usualmente es por lo general escribir el exponente
como superíndice de la base
. Pero en muchos entornos — como en los lenguajes de programación y e-mails de texto plano — no son compatibles con composición tipográfica de superíndice. La gente ha adoptado la notación lineal
para tales entornos; la flecha hacia arriba sugiere «elevado a» el exponente indicado. Si el juego de caracteres no contiene una flecha hacia arriba, el caret (^) se utiliza en su lugar.
La notación de superíndice
no se presta bien a la generalización, lo que explica por qué Knuth eligió desarrollar la notación flecha
en su lugar.
es una notación alternativa más corta para n flechas. Así
.
Escribir la notación flecha en términos de potencias[editar]
Intentar escribir
usando la familiar notación de superíndice da una torre de potencias.
- Por ejemplo:
![{\displaystyle a\uparrow \uparrow 4=a\uparrow (a\uparrow (a\uparrow a))=a^{a^{a^{a}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54cdd9813b6b6cfa5bd7d024e6ed63e9c705e013)
Si b es una variable (o es demasiado grande), la torre de potencias podría ser escrita utilizando puntos y una nota que indique la altura de la torre.
![{\displaystyle a\uparrow \uparrow b=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/657de5a64d016cd2169ad6846c8a6b2dcbb75509)
Continuando con esta notación,
puede ser escrito con una pila de tales torres de potencias, cada uno describiendo el tamaño de la pila que está por encima de ella.
![{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow 4=a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow a))=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{a}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1e05ce657ac9a28026c070c2e563fb95f44656b)
De nuevo, si b es una variable o es demasiado grande, la pila podría ser escrita utilizando puntos y una nota indicando su altura.
![{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b=\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9eaf431ae1e3ae43dccbf865766fd86f401ebc8)
Por otra parte,
podría escribirse usando varias columnas de dichas pilas de torres de potencias, cada columna describe el número de torres de potencias en la pila a su izquierda:
![{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4=a\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow a))=\left.\left.\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1c5d03624b1026b546996ac9adf722c50fa2d00)
Referencias[editar]